Về tính đầy đủ của Bảng tuần hoàn các phần tử hữu hạn

Trong một bài báo SIAM News gần đây , có một bài viết dài mô tả một tổ chức có hệ thống các yếu tố hữu hạn, được mệnh danh là Bảng tuần hoàn các yếu tố hữu hạn . Nó thực sự khá hấp dẫn để xem làm thế nào phân loại có thể được thực hiện thông qua tính toán bên ngoài phần tử hữu hạn. Như các tác giả chỉ ra:

Giống như sự sắp xếp các nguyên tố hóa học trong một bảng tuần hoàn dẫn đến việc phát hiện ra các nguyên tố mới, bảng tuần hoàn các nguyên tố hữu hạn không chỉ làm rõ các yếu tố hiện có mà còn làm nổi bật các lỗ hổng trong kiến ​​thức của chúng ta và dẫn đến các họ mới của các nguyên tố hữu hạn phù hợp với một số mục đích.

Sự tương tự làm tôi thích thú và khiến tôi tự hỏi liệu có thể lấp đầy tất cả các "lỗ hổng" có thể giống như cách mà các yếu tố vật chất bị thiếu đã được tìm thấy hay không. Có lẽ điều này có thể kéo dài sự tương tự quá xa, nhưng tôi tò mò liệu tất cả các "khoảng trống" có thể có trong các phần tử hữu hạn đã được khám phá và phát triển đầy đủ theo phương pháp phân loại tính toán bên ngoài phần tử hữu hạn này. Nếu không, "phương pháp còn thiếu" quan trọng hơn mà nghiên cứu hiện đang tập trung vào phát triển là gì và tại sao? Hơn nữa, có bất kỳ phương pháp phần tử hữu hạn nào không thể được phân loại theo phương pháp này (ngoài sự thiếu sót rõ ràng của các đơn giản hình dạng tùy ý ...)?

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: Tôi không thực sự làm việc trong lĩnh vực này (chỉ thấy nó thú vị), vì vậy tôi có thể hiểu nhầm một số ý tưởng. Xin lỗi nếu điều này xảy ra, và xin vui lòng sửa cho tôi nếu bạn thấy một lỗi.

Lưu ý một mặt - các phần tử hữu hạn không hoàn toàn tương đương với các phương thức phần tử hữu hạn. Đây là các yếu tố được xác định bởi Ciarlet - không gian gần đúng chiều hữu hạn với mức độ tự do được xác định là các hàm tuyến tính cho không gian. Các phương thức phần tử hữu hạn có thể là một tập hợp phân biệt rộng hơn nhiều (ví dụ: ổn định dạng yếu, các thủ thuật rời rạc, v.v.).

Doug Arnold có một mẫu tốt về công việc hiện tại trong tĩnh mạch của bảng SIAM. Một chút gọn gàng là việc mở rộng ý tưởng này cho nhóm các yếu tố hữu hạn, cho phép anh ta tạo ra một gia đình mới các yếu tố hữu hạn 3D serendipity. Annalisa Buffa cũng đã phù hợp với sự phân biệt B-spline vào khung hình thức khác biệt này.

Nhiều ý tưởng trên liên quan đến việc tái tạo chiều hữu hạn của phức hợp De Rham để tạo thành "sự phân biệt tương thích" ( tính ổn định của các yếu tố hữu hạn hỗn hợp gắn liền với ý tưởng chung về tính tương thích trong sự rời rạc). Khả năng tương thích cũng có mặt trong các vấn đề Maxwell và curl-curl , trong đó điều này mang lại sự ổn định của phương pháp và tái tạo chính xác phổ của toán tử. Ngoài FEM, các phương pháp sai phân hữu hạn bắt chước dường như cũng liên quan đến các khái niệm này (mặc dù chúng có liên quan chặt chẽ với các phương pháp FEM hỗn hợp, vì vậy tôi không chắc nó đặc biệt như thế nào).

Gần đây, Arnold đã đưa ra các yếu tố hữu hạn cho độ co giãn dựa trên phức hợp "độ co giãn" riêng biệt và John Evans đã tái tạo ý tưởng này cho Stokes, xác định cơ sở cho các vấn đề dòng chảy không thể giải quyết được dựa trên "phức hợp Stokes" . Nếu vấn đề đầy đủ bao gồm cả điều kiện tự do phân kỳ bị rời rạc, thì sự rời rạc kết quả có thể được hiển thị là không phân kỳ theo chiều (không yếu). Gerritsma và Hiemstra cho rằng bạn có thể sử dụng cùng một ý tưởng hình học để xây dựng sự phân biệt thứ tự cao, đáp ứng các đặc tính bảo tồn chính xác cho một loạt các luật bảo tồn.

TL; DR - cho bảng tuần hoàn của FEM: các yếu tố kỳ lạ và phi truyền thống? Đối với ý tưởng nhóm FEM vào các gia đình: sự phân biệt tương thích và mô hình hình học của vật lý?