vấn đề trọng số SVD?

$A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

Nói chung, tôi muốn tìm nhiều vectơ đơn vị và ở dạng trong đó là các hệ số thực dương. $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$

s_{i}

$s_i$

Điều này tương đương với phân rã giá trị số ít (SVD) khi . $(B)_{ij} = 1$

Có ai biết vấn đề này được gọi là gì không? Có một thuật toán nổi tiếng như SVD cho giải pháp cho vấn đề như vậy không?

(di chuyển từ math.SE)

linear-algebra matrix reference-request

— Ghi nhớ
nguồn

Tôi tin rằng đây là SVD tổng quát . Mục nhập Wikipedia không chi tiết lắm, vì vậy bạn có thể nên kiểm tra các nguồn được liên kết. Đặc biệt, trang 466 của liên kết sách Google này có thể hữu ích.

— ely

Đối với tôi, nó không giống bất cứ thứ gì như SVD tổng quát. Đặc biệt vì B không nhất thiết phải là đường chéo hoặc đối xứng, vì vậy mỗi hoặc có thể xuất hiện nhiều lần trong tổng.

x

$x$

y

$y$

— Victor Liu

B không cần phải là đường chéo cũng như đối xứng trong SVD tổng quát. Cả hai liên kết tôi cung cấp chỉ ra rằng A và B có thể là các ma trận có giá trị phức tạp chung có thứ nguyên M-by-N và P-by-N tương ứng.

— ely

Cảm ơn lời đề nghị @EMS. Tôi sẽ đánh giá cao nếu bạn có thể xây dựng kết nối.

— Ghi nhớ

Điều này là xa SVD tổng quát.

Nếu B là một ma trận dương, bạn có thể sử dụng gói BIRSVD của tôi http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

Bài viết http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf mô tả phương pháp đó cũng cung cấp các tài liệu tham khảo mà bạn có thể xem xét để thực hiện tìm kiếm tài liệu.

— Arnold Neumaier
nguồn

Ah, chuyển vấn đề thành xấp xỉ thứ hạng thấp có trọng số! Cảm ơn rất nhiều!

— Ghi nhớ

Để thêm chi tiết vào câu trả lời của @ Arnold, vấn đề này có thể được chuyển thành vấn đề xấp xỉ thứ hạng thấp có trọng số trong đó mục tiêu là giảm thiểu định mức có trọng số thay vì chỉ tiêu Frobenius. nơi và biểu thị sản phẩm Schur (aka Sản phẩm Hadamard).

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

— Ghi nhớ

Đúng. Điều này cho một cái tên đẹp cho vấn đề của bạn. Làm thế nào để giải quyết nó là một vấn đề khác nhau. Đây không phải là một vấn đề tiêu chuẩn và khá khó để tìm ra một thuật toán vừa nhanh vừa đáng tin cậy.

— Arnold Neumaier

@ArnoldNeumaier điều này thật tuyệt, cảm ơn bạn. có thể nhận được giấy phép và thông báo bản quyền với mã của bạn không? Như bây giờ nó là phần mềm độc quyền. Nếu bạn phát hành nó theo GPLv3 hoặc tương thích, nó có thể tìm đường đến gói đại số tuyến tính của GNU Octave.

— JuanPi