Động lực đằng sau phương pháp Galerkin

Tôi có một câu hỏi về phương pháp Galerkin. Tôi không hiểu tại sao phương pháp Galerkin lại trọng số dư bằng các hàm hình dạng và đặt nó bằng 0. Tôi muốn biết lý do của việc này là gì. Tại sao chúng ta phải đặt các hàm dư có giá trị bằng 0?

Khi tôi nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn ở trường đại học, khái niệm nhân với hàm trọng số cũng rất xa lạ với tôi. Cuối cùng, tôi đã tìm thấy một sự tương tự tốt đẹp (mặc dù không nghiêm ngặt) giúp tôi hiểu nó. Sự tương tự này dựa trên hình học vector 3D và sự hiểu biết về các phép chiếu và sản phẩm chấm.

Hình học 3D

Hãy tưởng tượng một mặt phẳng 2D nằm đâu đó trong không gian euclid 3D. Mặt phẳng này có thể mặc dù là khoảng của hai vectơ và . Do đó, bất kỳ vectơ trong mặt phẳng có thể được viết dưới dạng kết hợp tuyến tính của các vectơ này; tức làv 2 w w = c 1 v 1 + c 2 v $v_1$$v_2$$w$$w=c_1v_1+c_2v_2$

Bây giờ hãy tưởng tượng một điểm trong không gian 3D không có trên mặt phẳng. Hãy xem xét câu hỏi: Trong tất cả các điểm trên mặt phẳng, thời điểm đó là gần nhất để ? Đó là một điểm (không được hiển thị trong hình trên) nằm trên đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng. Điểm còn được gọi là hình chiếu trực giao của lên mặt phẳng. Mặc dù chúng ta không biết tọa độ của điểm này , chúng ta biết rằng các vector giữa và là vuông góc với tất cả các vectơ xác định máy bay, tức là vàQ w Q w Q w Q w v 1 v 2 Q w → Q - → w → Q - → $Q$$Q$$w$$Q$$w$$Q$$w$$Q$$w$$v_1$$v_2$ . Vuông góc cũng có nghĩa là sản phẩm chấm bằng không. Nếu chúng ta biểu thị vectơ giữa và là , thì buộc phải vuông góc với mặt phẳng cũng ngụ ý$Q$$w$$\vec{Q}-\vec{w}$$\vec{Q}-\vec{w}$

$$(\vec{Q}-\vec{w})\cdot v_1=0$$

và

$$(\vec{Q}-\vec{w})\cdot v_2=0$$

Điều này dẫn đến một hệ phương trình mà chúng ta có thể giải quyết Cũng lưu ý rằng để xây dựng , chúng ta phải biết tọa độ của$\vec{Q}-\vec{w}$$Q$

Tương tự cho phương pháp Galerkin

Giả sử rằng giải pháp là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm , .., ; do đó, . Sự kết hợp tuyến tính này hoạt động giống như mặt phẳng trong các cuộc thảo luận ở trên. N 1 N k u h = C 1 N 1 + . . . + C k N $u_h$$N_1$$N_k$$u_h=C_1N_1+...+C_kN_k$

Bây giờ, chúng ta hãy giả sử rằng có tồn tại một số giải pháp chính xác , mà chúng tôi không biết. Giải pháp này cũng giống như các điểm trong không gian 3D mà không phải là trên máy bay.$u$$u$

Trong phương pháp galerkin, chúng tôi đang tìm kiếm giải pháp trong một không gian (mặt phẳng) gần nhất với giải pháp thực sự (điểm không nằm trong mặt phẳng). Theo nghĩa này, "giải pháp tốt nhất" là sự lựa chọn của rằng sự khác biệt vuông góc với không gian . Lưu ý rằng đối với các không gian chức năng, "sản phẩm chấm" được xác định bởi tích phân của sản phẩm của họ, tức là . Vì vậy, vuông góc ngụ ý rằng sản phẩm chấm giữa và tất cả các hàm cơ bản , ..., phải bằng 0, nghĩa là u - u h u h < u , v > = ∫ Ohm u v u - u h N 1 N $u_h$$u-u_h$$u_h$$<u,v>=\int_\Omega u v$$u-u_h$$N_1$$N_k$

. . . ∫ Ω (u- u h ) N k =

$$\int_\Omega (u-u_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (u-u_h)N_k = 0$$

Bây giờ, bạn có thể nói với chính mình, "Đây toàn đang gánh thiết lập giới phê bình trên giả định rằng chúng ta đã biết các giải pháp chính xác trước thời hạn. Nhưng sự thật là chúng ta thường không biết tiên. Trong trường hợp đó, làm thế nào có thể chúng ta có thể tính trong tất cả các phương trình này không?u u - u $u$$u$$u-u_h$ "Tôi rất vui vì bạn đã hỏi!

Sự thật là chúng ta không thể và không đánh giá trực tiếp . Nhưng chúng tôi biết những gì và phải thỏa mãn; tức là PDE. u u $u-u_h$$u$$u_h$

Giả sử vấn đề PDE ban đầu của bạn là

$$-\nabla\cdot\left(k(x)\nabla u\right)=f$$

Chúng tôi cũng có thể viết lại như là

A A u = - ∇ ⋅ ( k ( x ) ∇ u

$$Au=f$$ trong đó toán tử được xác định bởi biểu thức$A$$Au=-\nabla\cdot\left(k(x) \nabla u \right)$

Vì vậy, thay vì xem xét sự khác biệt tuyệt đối giữa các giải pháp , chúng tôi thay vào đó xem xét sự khác biệt còn lại trong tất cả các phương trình (vuông góc). Đó là, xem xét không phải những gì và là, mà là những gì và thỏa mãn thay thế. Bằng cách thay thế sự khác biệt tuyệt đối bằng sự khác biệt còn lại trong các phương trình (vuông góc) ở trên, chúng ta có thể viết A u - A u h u u h u u $u-u_h$ $Au - Au_h$$u$$u_h$$u$$u_h$

. . . ∫ Ω (Au-A u h ) N k =

$$\int_\Omega (Au-Au_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (Au-Au_h)N_k = 0$$

Một lần nữa, chúng ta vẫn không biết là gì , vì vậy điều này có vẻ không hữu ích lắm. Nhưng trên thực tế, chúng ta có thể thay thế bằng thuật ngữ nguồn đã biết (vì ). Do đó, chúng tôi có được các phương trình$u$$Au$$f$$Au=f$

$$\int_\Omega (f-Au_h)N_1 = 0$$ $$...$$ $$\int_\Omega (f-Au_h)N_k = 0$$

Do đó, việc thực hiện phần dư là trực giao với không gian đã cho dẫn đến một hệ phương trình mà người ta có thể giải cho các hệ số . $C_1,...,C_k$

Tóm lược

Giải thích ở trên là một "tương tự" thô. Tôi chưa thực sự có được bất cứ điều gì hoặc đưa ra một bằng chứng hợp lý rằng có thể được thay thế bằng và vẫn tạo ra một xấp xỉ gần đúng. Tôi cũng không giải thích bất cứ điều gì về việc có được một dạng PDE yếu hoặc cách chọn khoảng trắng nơi nằm trong đó.$u-u_h$$Au-Au_h$$N_1...N_k$

Nhưng toàn bộ ý tưởng đằng sau phương pháp galerkin như một phép chiếu là cho tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể có của các hàm trong một không gian (chiều hữu hạn) nhất định (khoảng , ..., ), chúng tôi đang tìm kiếm một hàm gần nhất với một giải pháp (điểm) thường nằm ngoài không gian đã cho. Gần nhất có nghĩa là chúng ta đang tìm kiếm phép chiếu trực giao từ giải pháp thực sự vào không gian đã cho. Nếu chúng ta không biết giải pháp chính xác của là gì, thì chúng ta không thể sử dụng sự khác biệt tuyệt đối làm số liệu trong dự báo của mình. Vì vậy, chúng tôi buộc phải sử dụng chênh lệch còn lại làm số liệu dự báo của chúng tôi; Nói cách khác:$N_1$$N_k$$u$

Phép chiếu galerkin không phải là về những gì là ... đó là về những gì thỏa mãn .$u$ $u$

Giả sử bạn muốn giải phương trình Laplace, . Tất nhiên, lý tưởng nhất là bạn muốn tìm một hàm sao cho phần dư bằng 0: . Nhưng là một đối tượng chiều vô hạn mà nói chung chúng ta không thể biểu diễn trên máy tính, vì vậy chúng ta phải tìm các xấp xỉ chiều hữu hạn . Vì không phải là giải pháp chính xác, chúng tôi không thể mong đợi rằng . Câu hỏi đặt ra là phương trình nào chúng ta muốn thỏa mãn thay thế.$-\Delta u = f$$u$$r(u) = -\Delta u - f = 0$$u$$u_h$$u_h$$r(u_h)=0$$u_h$

Phương thức Galerkin chọn là tổ hợp tuyến tính của các hàm hình dạng và sau đó xác định các hệ số bằng cách yêu cầu phần dư để thỏa mãn tập phương trình .$u_h=\sum_i U_i \varphi_i$$N$$\varphi_i$$U_i$$N$$\left<\varphi_i,r(u_h)\right>=0$

Nhưng có những lựa chọn khác là có thể. Ví dụ: phương pháp Petrov-Galerkin yêu cầu trong đó các hàm kiểm tra là một tập hợp các hàm trọng số tách biệt với các hàm dùng thử . ψ i N φ $\left<\psi_i,r(u_h)\right>=0$$\psi_i$$N$$\varphi_i$

Tôi có thêm một chút tài liệu về vấn đề này trong bài giảng 4 tại http://www.math.tamu.edu/~bangerth/ideo.html .

Boris Grigoryevich muốn bạn không thể tạo ra các phần dư với các chức năng giống như bạn đã sử dụng để tạo ra giải pháp.

Trong khi câu hỏi này đã cũ và đã được trả lời bởi nhiều người thông minh, tôi chỉ muốn ghi lại trực giác mà tôi sử dụng để giải thích phương pháp Galerkin cho mọi người.

Mục tiêu trong tình huống của chúng tôi là tìm ra một giải pháp gần nhất có thể với một số phương trình dư liên tục:

$$r(u) = 0$$ .

Hãy để chúng tôi xác định hàm cơ bản là , xác định giải pháp gần đúng là và xác định phần dư là , phép chiếu Galerkin kết thúc là:$i^{th}$$\phi_{i}(x)$$u_{h} = \sum_{i}^{n} a_{i} \phi_{i}(x)$$r(u_{h}(x))$

$$\int_{\Omega} r(u_{h}(x)) \phi_i(x) dx = 0 \;\;\; \forall i$$

Biểu thức tích phân này có thể được xem như một sản phẩm bên trong được viết là:

$$\left< r(u_{h}), \phi_i\right> = 0 \;\;\; \forall i$$

Từ quan điểm của sản phẩm bên trong này, Phép chiếu Galerkin buộc lỗi còn lại phải trực giao với sự lựa chọn của các hàm cơ sở. Vì vậy, mặc dù có thể có lỗi thực sự liên quan đến việc sử dụng biểu diễn chiều thấp hơn của giải pháp, nhưng Dự đoán Galerkin nhằm mục đích giảm thiểu thành phần lỗi liên quan đến cơ sở đã chọn.

Hãy nhớ rằng khi bạn nhân phương trình dạng mạnh với hàm hình dạng, hàm hình dạng là tùy ý . Do đó, bằng cách yêu cầu phần dư phải trực giao với bất kỳ hàm hình dạng nào như vậy, phần dư như vậy trên thực tế rất gần với không.

Điều này không giống như yêu cầu phần dư chính xác bằng 0, mà là một yêu cầu hơi yếu mà giải pháp rời rạc có thể đáp ứng.