Tôi biết rằng chúng ta có thể sử dụng các kỹ thuật phân tích toán học để chứng minh nếu IVP hoặc BVP có giải pháp, là duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các giá trị biên / ban đầu. Đối với một số PDE, đặc biệt là các pde phi tuyến tính, rất khó, nếu không nói là không thể, để chứng minh sự ổn định. Có bất kỳ loại kỹ thuật số để xác minh nếu một vấn đề được đặt ra tốt hay không?
Một sơ đồ số có thể được sử dụng để xác định mức độ ổn định của một vấn đề giá trị ban đầu hoặc giá trị biên?
Câu trả lời:
Nói chung, không. Một giải pháp số đôi khi có thể được sử dụng như một biện pháp sơ bộ để chỉ ra liệu các điều kiện biên có đủ hay không, để xác định các miền "nổi" chẳng hạn, nhưng có nhiều trường hợp trong đó các giải pháp rời rạc cung cấp cho bạn thông tin sai lệch về vấn đề liên tục.
Khuyến khích-khuếch tán đòi hỏi một điều kiện biên trên tất cả các ranh giới, nhưng các hệ thống rời rạc không thể sử dụng không có điều kiện biên tại dòng chảy (không phải là điều kiện Neumann đồng nhất, tôi thực sự có nghĩa là không có điều kiện biên). Không chỉ vậy, nó còn chính xác hơn biểu diễn rời rạc của điều kiện biên liên tục. Xem Papanastasiou, Malamataris, và Ellwood 1992 và Griffiths 1997 để biết chi tiết. Một điều kiện biên tương tự cũng rất quan trọng đối với trượt trên các bề mặt cong, xem Behr 2004 .
"Hiện tượng carbuncle" ảnh hưởng đến một số phương pháp nhất định cho dòng chảy nén. Nó không được hiểu rõ lắm, nhưng các sơ đồ số dường như mạnh mẽ có thể hội tụ đến các giải pháp giả. Một ví dụ từ Robinet et al. 2000
Các giải pháp giả cho Navier-Stokes không thể nén, trong một chế độ tầng. Một ví dụ về khoang điều khiển nắp đơn giản được đưa ra trong Schreiber và Keller 1983 .
Các hệ thống của luật bảo tồn hyperbol với kích thước tương đối phi vật lý của sự phân tán số. Một số phương pháp phân tán số luôn luôn được yêu cầu, nhưng các phương pháp mạnh mẽ khác (ví dụ Godunov) có thể hội tụ một cách có hệ thống các kết quả không chính xác nếu sự phân tán số kết thúc là phi vật lý. Một ví dụ đơn giản được đưa ra trong Mishra và Spinolo 2011trong đó phương pháp Godunov tiêu chuẩn hội tụ đến kết quả không chính xác đối với nước nông tuyến tính 1D. Điều này thể hiện ở dạng sâu hơn trong mô phỏng xoáy lớn. Độ nhớt xoáy là một biểu hiện vật lý của các thang subgrid, nhưng nếu độ phân tán số (không thể tránh khỏi) lớn hơn độ phân tán vật lý, mô phỏng có thể hội tụ đến kết quả không chính xác một cách có hệ thống. Trong thực tế, các đóng cửa subgrid cho độ nhớt xoáy là rất quan trọng. Đây là vấn đề lấy một giới hạn số ít dọc theo con đường (vật lý) chính xác.
Khóa hiệu ứng trong chế độ đàn hồi hoặc bàn cờ trong dòng chảy không thể nén. Điều này là do chọn một không gian gần đúng không ổn định và hiện đang được hiểu rất rõ, ít nhất là đối với các vấn đề tuyến tính, nhưng dựa vào một giải pháp số để suy ra vị trí tốt có thể khiến bạn kết luận rằng giới hạn không thể gây ra đã bị đặt ra.