Tích hợp số của hàm được hỗ trợ nhỏ gọn trên một tam giác

như tiêu đề cho thấy tôi đang cố gắng tính tích phân của hàm được hỗ trợ nhỏ gọn (đa thức tinh túy của Wendland) trên một hình tam giác. Lưu ý rằng trung tâm của hàm nằm ở đâu đó trong không gian 3 chiều. Tôi tích hợp chức năng này trên một hình tam giác tùy ý, nhưng nhỏ ( ). Tôi hiện đang sử dụng tích hợp được mô tả bởi Dunavant, 1985 (p = 19).$area < \frac{(radius/4)^2}{2}$

Tuy nhiên, có vẻ như các quy tắc bậc hai này không phù hợp với các vấn đề được hỗ trợ nhỏ gọn. Điều này được hỗ trợ bởi thực tế là khi tôi tích hợp (vì vậy một hàm nằm trong vòng tròn bán kính 1) trên một mặt phẳng được phân tách bằng các tam giác, kết quả (đã chuẩn hóa) của tôi nằm giữa 1.001 và 0.897.$f(r) = [r\leq1]$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là, có một quy tắc bậc hai chuyên ngành tồn tại cho loại vấn đề này? Một quy tắc tích hợp tổng hợp bậc thấp sẽ làm việc tốt hơn?

Thật không may, thói quen này thực sự quan trọng trong mã của tôi nên độ chính xác là rất quan trọng. Mặt khác, tôi cần thực hiện việc tích hợp này "một vài lần" trong một bước thời gian duy nhất để chi phí tính toán không quá cao. Song song hóa không phải là một vấn đề vì tôi sẽ thực hiện việc tích hợp nối tiếp.

Cảm ơn trước cho câu trả lời của bạn.

EDIT: Đa thức của Wendland được cho bởi với và với r_0 là một vectơ tùy ý trong \ mathbb {R} ^ 3$W(q) = [q\leq2]\frac{\alpha}{h^3}(1-\frac{q}{2})^4(2q+1)$$\alpha = \frac{21}{16\pi}$$q=\frac{\|r-r_0\|}{h}$$r_0$$\mathbb{R}^3$

EDIT2: Nếu $\Delta$ là tam giác hai chiều thì tôi muốn tính $\int_\Delta \omega(r) dr$ với $\omega(r) = W(\frac{\|r-r_0\|}{h})$ . Vì vậy, $q$ trong $W$ sẽ không bao giờ nhỏ hơn 0. Lưu ý rằng tích phân là tích phân bề mặt trên bề mặt 2 chiều trong $\mathbb{R}^3$

EDIT3: Tôi có một giải pháp phân tích cho bài toán 1-D (dòng). Tính toán một cho 2-D (tam giác) cũng có thể có thể.

Vì chức năng hoạt động trơn tru trong , nhưng không ở mức độ cố định (trong mặt phẳng, nghĩa là), tôi sẽ đề xuất sử dụng sơ đồ thích ứng đơn giản, ví dụ Quy tắc hình thang với phương pháp của Romberg , theo cả hai chiều.$q \leq 2$

Nghĩa là, nếu tam giác của bạn được xác định bởi các đỉnh , và và bạn có một thói quen tích hợp dọc theo dòng từ đến , bạn có thể thực hiện như sau (trong ký hiệu Matlab):$x$$y$$z \in \mathbb R^3$romb(f,a,b)fab

int = romb( @(xi) romb( W , xi , y+(z-y)*(xi-x)./(z-x) ) , x , z );

Trong romb, không sử dụng một số điểm cố định, nhưng tiếp tục tăng bảng cho đến khi chênh lệch giữa hai đường chéo liên tiếp nằm dưới dung sai yêu cầu của bạn. Vì chức năng của bạn trơn tru, đây sẽ là một ước tính lỗi tốt.

Nếu các phần của tam giác nằm ngoài miền của , bạn có thể thử điều chỉnh các giới hạn tích hợp trong mã trên cho phù hợp.$W(q)$

Đây có thể không phải là cách hiệu quả nhất để giải quyết vấn đề của bạn, nhưng khả năng thích ứng sẽ mang lại cho bạn sự mạnh mẽ hơn nhiều so với quy tắc ở mức độ cố định.

Để có cái nhìn tổng quan về các quy tắc hình khối, xem "R. Cools, Bách khoa toàn thư về công thức hình khối J. Độ phức tạp, 19: 445-453, 2003". Sử dụng một quy tắc cố định, có thể cung cấp cho bạn lợi thế là một số quy tắc tích hợp chính xác các đa thức (như phương trình bậc hai Gauss thực hiện trong một chiều).

Cools cũng là một trong những tác giả chính của CUBPACK , một gói phần mềm cho hình khối số.

Các quy tắc tích hợp giả định rằng hàm này gần đúng cục bộ bởi một đa thức bậc thấp. Vấn đề của bạn không có gì để làm với sự hỗ trợ nhỏ gọn. Các hàm cơ sở xuyên tâm được hỗ trợ nhỏ gọn được làm mịn tại ranh giới hỗ trợ và các quy tắc bậc hai cho đến thứ tự độ mịn có thể được sử dụng mà không gặp vấn đề gì. (Các quy tắc bậc cao hơn không giúp ích; do đó bạn có thể không nên sử dụng quy tắc tích hợp chính xác các đa thức bậc 5.)

Trong trường hợp của bạn, sự không chính xác xuất phát từ thực tế là giả định về tính gần đúng đa thức tốt không thành công trong trường hợp của bạn đối với các tam giác gần , ngay cả khi chúng không chứa r 0 .$r_0$$r_0$

trơn tru như một hàm của q , nhưng q là hàm nonsmooth của r , với độ dốc trở thành vô hạn trong giới hạn r → r 0 . Tích hợp là trên r và hàm tổng hợp là hàm nonsmooth của r .$W$$q$$q$$r$$r\rightarrow r_0$$r$$r$

Nếu tam giác không chứa , hàm là C i n f nhưng điều này không giúp ích gì vì đạo hàm cao hơn phát triển rất nhanh gần với r 0 và sai số của phương thức bậc cao tỷ lệ thuận với đạo hàm bậc cao, do đó rất lớn!$r_0$$C^inf$$r_0$

Biện pháp khắc phục đơn giản là chia mỗi tam giác T thành một số N_T của các tam giác con. Bạn có thể lấy xa r 0 , và N T » 1 gần r 0 . Bạn có thể tìm ra ngoại tuyến N T phải lớn như thế nào đối với các tam giác có đường kính nhất định và khoảng cách từ r 0 để đạt độ chính xác mong muốn. Hơn nữa, bạn chỉ nên sử dụng các công thức bậc thấp gần với r 0 .$N_T=1$$r_0$$N_T\gg 1$$r_0$$N_T$$r_0$$r_0$

Khi bạn tích hợp trên một hình tam giác, nhưng là 3 chiều, hình tam giác rõ ràng nằm trong R 3 .$r_0$$R^3$

Do đó, một khắc phục nhanh hơn sẽ lập bảng tích phân cho là một hàm của tọa độ tam giác (bình thường bằng cách quay nó thành một 2 chiều x y -plane như vậy mà một đỉnh dối trá trên x trục, và phản ánh nó như vậy mà một đỉnh thứ hai nằm phía trên nó). Bảng này phải đủ chi tiết để làm cho phép nội suy tuyến tính hoặc bậc hai đủ chính xác. Nhưng bạn có thể sử dụng phương thức chậm được phác thảo trước để tạo bảng này.$r_0=0$$xy$$x$

Một cách khác để thoát khỏi vấn đề là sử dụng hàm cơ sở xuyên tâm được hỗ trợ nhỏ gọn là đa thức trong chứ không phải q . Điều này là trơn tru ở khắp mọi nơi, và dễ dàng để tích hợp.$q^2$$q$