Điều gì về ước tính lỗi đơn giản này cho PDE tuyến tính?

Đặt là miền Lipchitz đa giác lồi trong , hãy để .R 2 f ∈ L 2 ( Ω $\Omega$$\mathbb R^2$$f \in L^2(\Omega)$

Sau đó, giải pháp cho vấn đề Dirichlet trong , trên có một giải pháp duy nhất trong và được đặt ra, tức là đối với một số không đổi chúng ta có .$\Delta u = f$$\Omega$$\operatorname{trace} u = 0$$\partial\Omega$$H^2$$C$$\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Đối với một số xấp xỉ phần tử hữu hạn $u_h$ , giả sử, với các phần tử nút trên lưới thống nhất, chúng ta có ước tính lỗi

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Có vẻ như (có lẽ tôi đã sai với điều đó) rằng mọi người thường không sử dụng ước tính lỗi rõ ràng

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

mà chúng ta có thể có được bằng cách kết hợp hai bất đẳng thức trên. Thay vào đó, một công cụ ước tính lỗi posteriori được phát triển dưới nhiều hình thức khác nhau. Sự phản đối duy nhất tôi có thể tưởng tượng đối với phương trình trên là hằng số $C$ trong thực tế có thể quá bi quan hoặc không đáng tin cậy.

Lý do tại sao mọi người thích sử dụng ước tính đầu tiên, theo tôi, là vì cái đầu tiên phát sinh một cách tự nhiên từ tính trực giao Galerkin của FEM, thuộc tính gần đúng nội suy và quan trọng nhất là tính cưỡng chế của dạng song tuyến (đối với bài toán giá trị biên của phương trình Poisson , nó tương đương với bất đẳng thức Poincaré / Friedrichs cho các hàm ): ‖ u - u h ‖ 2 H 1 ( Ω $H^1_0$

$$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$$ trong đó phụ thuộc vào hằng số trong bất đẳng thức Poincaré / Friedrichs cho các hàm , là phép nội suy của trong hữu hạn không gian phần tử và$c_1$$H^1_0$$\mathcal{I}u$$u$$c_2$ phụ thuộc vào các góc tối thiểu của lưới.

Trong khi ước tính độ đều của hình elip chỉ ở mức PDE, không liên quan gì đối số gần đúng, cộng với ở trên giữ ngay cả khi là phân phối.$\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$$f\in H^{-1}$

Bây giờ chuyển sang lý do tại sao một ước tính lỗi posteriori được sử dụng rộng rãi, chủ yếu là vì:

• Nó là tính toán, không có hằng số chung trong biểu thức của các ước tính.

• Công cụ ước tính có dạng cục bộ của nó, có thể là chỉ báo lỗi cục bộ sử dụng trong quy trình tinh chỉnh lưới thích ứng. Do đó, vấn đề với điểm kỳ dị hoặc hình học thực sự "xấu" có thể được giải quyết.

Cả hai ước tính loại tiên nghiệm mà bạn liệt kê đều hợp lệ, chúng cung cấp cho chúng tôi thông tin về thứ tự hội tụ, tuy nhiên không ai trong số chúng có thể là chỉ báo lỗi cục bộ chỉ cho một tam giác / tứ diện, vì cả hai đều không thể tính toán được do hằng số , cũng không được định nghĩa cục bộ.

EDIT: Để có cái nhìn tổng quát hơn về FEM cho các PDE elip, tôi khuyên bạn nên đọc Chương 0 trong cuốn sách của Brenner và Scott: Lý thuyết toán học về các phương pháp phần tử hữu hạn , chỉ bao gồm 20 trang và bao quát gần như mọi khía cạnh của các phương pháp phần tử hữu hạn , từ công thức Galerkin từ PDE, đến động lực tại sao chúng tôi muốn sử dụng FEM thích ứng để giải quyết một số vấn đề. Hy vọng điều này sẽ giúp bạn nhiều hơn.

Ước tính của bạn là quá bi quan trên hai mặt trận. Bạn đã xác định được cái đầu tiên rồi ( bây giờ không chỉ bao gồm hằng số nội suy mà còn cả hằng số ổn định). Điều thứ hai là ước tính lỗi thực sự đọc Lưu ý rằng phía bên tay phải có hội thảo , không theo quy tắc. Tất nhiên bạn có thể ràng buộc rhs theo định mức đầy đủ, nhưng bạn lại thua theo cách này.‖ ∇ e ‖ L 2 ≤ $C$H

$$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$$ $H^2$