Số điều kiện ma trận có ảnh hưởng đến độ chính xác của bộ giải tuyến tính lặp không?

8

Tôi có một câu hỏi khá cụ thể liên quan đến số điều kiện. Tôi chạy các mô phỏng FEM có nhiều thang đo chiều dài cho chúng dẫn đến sự chênh lệch lớn giữa các mục lớn nhất và các mục nhỏ nhất trong ma trận của tôi. Số điều kiện có thể lên tới 10 ^ 15 trong một số trường hợp.

Trong phân tích số, tôi thường thấy lỗi bị ràng buộc đối với số điều kiện vì nó áp dụng cho lỗi trong giải pháp tính toán bằng phương pháp trực tiếp. Sự tò mò của tôi là liệu logic này có áp dụng cho lỗi trong bộ giải kiểu lặp như CG hay GMRES không. Tôi biết rằng tốc độ hội tụ bị ảnh hưởng bởi các giá trị riêng của ma trận và tôi nhận thấy tổn thất tốc độ rất lớn khi chạy các vấn đề thuộc loại này. Nhưng, tôi không chắc chắn về độ chính xác. Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

linear-algebra numerical-analysis linear-solver

— CraigJ
nguồn

Có thể giảm số điều kiện của bạn bằng cách sàng lọc lưới?

— nathanielng

Nó có thể là sự thiếu hiểu biết của tôi về FEM. Nhưng trong các bài toán mô hình đa biến, khối lượng phần tử lớn nhất của tôi đến phần tử nhỏ nhất là khoảng 10 ^ 10. Tôi biết rằng các tham số đó sẽ đi vào các mục của ma trận. Những gì tôi không biết là nếu loại điều này được tính trong các bộ giải tuyến tính FEM (Nhưng, tôi không biết nó sẽ như thế nào, đó là lý do tại sao tôi đặt câu hỏi). Vì vậy, để trả lời câu hỏi của bạn, lưới được tinh chỉnh vì trong tất cả các yếu tố đều có chất lượng chấp nhận được nhưng kích thước khác nhau của các yếu tố khiến tôi ước tính rằng số điều kiện của tôi sẽ theo thứ tự này.

— CraigJ

13

$10^{15}$

Phương pháp lặp của bạn không có khả năng hội tụ vào một giải pháp trong bất kỳ khoảng thời gian hợp lý nào. Ngay cả khi bạn sẵn sàng chờ đợi trong nhiều thế kỷ, giải pháp bạn nhận được vẫn cực kỳ nhạy cảm với bất kỳ sự nhiễu loạn nào trong dữ liệu vấn đề.

— Brian Borchers
nguồn

Vì vậy, nếu tôi có một tham số có độ biến thiên 5-10% sẽ ảnh hưởng đến các giá trị trong ma trận, thì độ không đảm bảo này sẽ được phóng to lên nhiều lần bất kể phương thức giải pháp là gì? Cảm ơn, chỉ yêu cầu một chút làm rõ.

— CraigJ

1

Có, nếu dữ liệu của bạn chính xác 5-10% và bạn có hệ thống bị điều hòa tồi tệ này, bạn đang gặp rắc rối lớn. Bạn thực sự cần phải xem xét một số loại chính quy.

— Brian Borchers

10^{- 20}

$10^{-20}$

10^{12}

$10^{12}$

7

Chúng ta nên chính xác hơn ở đây. Ước tính đơn giản nhất mà bạn có thể đưa ra là để nếu bạn chấm dứt việc lặp lại bằng phần dư, bạn có thể tắt theo hệ số

| | x^{*} - x | | = = | | {Một}^{- 1} Một (x^{*} - x) | | \leq | | {Một}^{- 1} | | | | b - Một x | |

$||x^* - x|| = ||A^{-1} A (x^* - x)|| \le ||A^{-1}||\,||b - A x||$

| | A^{- 1} | |

$||A^{-1}||$

κ (Một) = = | | Một | | | | {Một}^{- 1} | |

$\kappa(A) = ||A||\,||A^{-1}||$

đăng nhập κ .

$\log\kappa.$

— Matt Knepley
nguồn