Phương pháp của các dòng có thể được sử dụng để phân biệt tất cả các PDE không?

Tôi đã thấy rằng phương pháp của các dòng là một cách rất tự nhiên để suy nghĩ về sự rời rạc của PDE. Do đó tôi luôn mặc định với suy nghĩ đó khi được trình bày với một bộ phương trình mới. Tôi chưa bao giờ thấy một PDE nơi điều này sẽ không hoạt động.

Điều tôi băn khoăn là liệu có các phương pháp riêng biệt (hoặc các loại PDE) không thể được xây dựng thông qua phương pháp đường. Tôi hy vọng rằng bất kỳ PDE nào có đạo hàm thời gian đều ẩn trong phương trình và không thể giải được sẽ là một trường hợp như vậy (mặc dù tôi không biết ví dụ thực tế nào về điều này). Tôi đang tìm kiếm lý do tại sao phương pháp đường luôn luôn được áp dụng hoặc một ví dụ ngược lại.

Một tình huống trong đó cách tiếp cận phương pháp đường truyền thông thường không thể được sử dụng một cách đơn giản là với các phương trình có các đạo hàm thời gian hỗn hợp .. Theo "cách tiếp cận phương pháp đường thông thường", tôi có nghĩa là phân biệt các đạo hàm không gian theo sau áp dụng phương pháp Runge-Kutta hoặc đa tuyến tính. Điều này thường chỉ áp dụng cho các hệ thống PDE tiến hóa theo thứ tự (trong thời gian).

Một ví dụ về phương trình với các đạo hàm hỗn hợp như vậy là phương trình. (2.1) của http://epub.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 .

Trong ít nhất một số trường hợp, có thể viết lại các phương trình như hệ thống tiến hóa bậc nhất của PDE, nhưng tôi không thấy ngay cách để làm điều đó ở đây. Có thể có các thủ thuật khác để áp dụng phương pháp đường thẳng cho các phương trình như vậy, nhưng tôi không biết về chúng.