Phân biệt phần tử hữu hạn không gian thời gian cho các PDE phụ thuộc thời gian

Trong tài liệu FEM, các phương pháp bán thay đổi thường được sử dụng trong giải pháp của các PDE phụ thuộc thời gian. Tôi chưa thấy một cách tiếp cận đa dạng, tức là không gian và thời gian bị FEM phân tách, có lẽ cho phép sử dụng các mắt lưới không gian thời gian không cấu trúc. Mặc dù các phương pháp đánh dấu thời gian có thể dễ thực hiện hơn, nhưng có một lý do cụ thể tại sao việc chia lưới không gian không khả thi? Tôi tưởng tượng người ta phải điều chỉnh các mắt lưới để tôn trọng các tính chất vật lý của một vấn đề nhất định, nhưng tôi không chắc chắn.

Sự rời rạc toàn thời gian của các phương trình vi phân từng phần phụ thuộc thời gian thực sự là một điều. Nếu bạn sử dụng lưới có cấu trúc kịp thời (theo nghĩa là thời gian rời rạc không phụ thuộc vào không gian) và lựa chọn chức năng thử nghiệm và thử nghiệm phù hợp, bạn có thể phù hợp với một số phương pháp bước thời gian tiêu chuẩn (Crank-Nicolson, ẩn Euler hoặc một số Runge -Kutta đề án) vào một khung Galerkin, đưa ra một cách tiếp cận thanh lịch để phân tích. Điều này được mô tả, ví dụ, trong cuốn sách của Thomée Phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin cho các vấn đề Parabol (Springer, tái bản lần 2, 2006) hoặc ước tính lỗi của Chrysafinos và Walkington cho các phương pháp Galerkin không liên tục cho phương trình parabol , (SIAM J. Numer. 44.1, 349 mộc366, 2006).

Sử dụng một lưới hoàn toàn không có cấu trúc là ít phổ biến hơn, nhưng có thể có ý nghĩa đối với các vấn đề hyperbol trong đó bạn có một sự vận chuyển thông tin dọc theo các đặc điểm. Nếu bạn sử dụng công thức Galerkin không liên tục, mỗi phần tử không gian chỉ kết hợp với phần tử lân cận thông qua các điều khoản khuôn mặt (bạn không có yêu cầu liên tục toàn cầu) và bạn có thể sử dụng quy trình quét để tính toán giải pháp bằng cách đi từ phần tử này sang phần tử khác - một loại bước "xiên". Tất nhiên, điều này khó thực hiện hơn nhiều, ngay cả khi nó không yêu cầu lưu trữ toàn bộ thời gian không gian (có thể bị cấm). Mặt khác, bạn có được lợi thế của các mắt lưới không có cấu trúc cho phép sàng lọc cục bộ (thích ứng) và do đó bước thời gian thích ứng cục bộ.Các phương pháp phần tử hữu hạn không-thời gian cho tính đàn hồi: công thức và ước tính lỗi , Phương pháp máy tính trong Cơ học và kỹ thuật ứng dụng 66 (3): 339-363, 1988 . Ngoài ra còn có một luận án tiến sĩ của Shripat Thite về Chia lưới không thời gian cho các phương pháp Galerkin không liên tục .

Một bối cảnh khác mà tôi đã thấy ý tưởng này là trong tối ưu hóa có ràng buộc PDE cho các vấn đề parabol. Ở đó, bạn có thể xây dựng các điều kiện tối ưu cần thiết theo thứ tự như một hệ thống kết hợp của các phương trình tiến lùi, mà bạn có thể hiểu là công thức hỗn hợp của phương trình bậc 2 theo thời gian, bậc 4 trong phương trình elip không gian với phương trình ban đầu (và điều kiện biên. Bằng cách thực hiện phân tách thời gian không gian thích ứng của hệ thống được ghép nối này, bạn có thể có một cách tiếp cận một lần hiệu quả để tính toán giải pháp, xem Gong, Hinze, Zhou: xấp xỉ phần tử hữu hạn thời gian không gian của các vấn đề kiểm soát tối ưu parabol , J Numer. Môn Toán. 20 (2): 111-145 (2012) .

Có nhiều bài báo gần đây về Phương pháp Không-Thời gian. Có một từ Steinbach, Nguyên tố hữu hạn không-thời gian và một từ Langer et. al, Phân tích cân bằng không gian-thời gian tất cả giải quyết các vấn đề tiến hóa Parabol. Trong cả hai bài viết, họ mô tả một cách sinh động các công thức đa dạng nhưng trong các cài đặt khác nhau. Như các tiêu đề gợi ý, cái trước sử dụng FEM và IgA sau. Tôi nghĩ rằng điều này cung cấp thông tin tốt đặc biệt là những gì bạn tìm kiếm.

$\theta-$

Sản phẩm kéo căng Việc thực hiện không gian thời gian rất khác so với các sản phẩm không có độ căng. Điều thứ hai là một chút khó khăn đặc biệt là cho FEM.