Tiêu chí ổn định cho sóng trong chất rắn dị hướng

8

Các phương trình chuyển động của vật rắn đàn hồi được cho bởi

\begin{aligned} \nabla \cdot σ + f = ρ \ddot{u} \\ σ = C ε \\ ε = \frac{1}{2} (\nabla u + [\nabla u]^{T}) \end{aligned}

$\begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \rho \ddot{\mathbf{u}}\\ &\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C}\boldsymbol{\varepsilon}\\ &\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{u} + [\nabla\mathbf{u}]^T\right) \end{align}$

hoặc trong ký hiệu chỉ mục

\begin{aligned} σ_{i j, j} + f_{i} = ρ \ddot{u_{i}} \\ σ_{i j} = C_{i j k l} ε_{k l} \\ ε = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i}) \end{aligned}

$\begin{align} &\sigma_{ij,j} + f_i = \rho \ddot{u_i}\\ &\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}\\ &\varepsilon = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \end{align}$

$\mathbf{u}$ là vectơ dịch chuyển, $\mathbf{f}$ là lực cơ thể (thuật ngữ nguồn), $\boldsymbol{\sigma}$ là ứng suất căng, $\mathbf{\varepsilon}$ là ứng suất căng và $\mathbb{C}$ là tenxơ độ cứng. Trong trường hợp chất rắn đẳng hướng, tenxơ độ cứng được viết theo hai hằng số khác nhau , đối với các miền không giới hạn, phương trình thừa nhận hai loại sóng không tách rời và tiêu chí ổn định được đưa ra trong trường hợp xấu nhất của hai trường hợp khác nhau (nghĩa là , một trong những tốc độ cao hơn).

Đối với vật liệu đẳng hướng ngang có 5 tham số độc lập xác định tenxơ và 3 loại sóng (2 trong số chúng được ghép với nhau). Trong trường hợp tổng quát hơn, số lượng tham số là 21 và sóng được ghép.

Câu hỏi: Làm thế nào để bạn tìm thấy tiêu chí cho sự ổn định trong thuật toán diễu hành thời gian cho trường hợp chung?

— nicoguaro
nguồn

1

Làm thế nào để bạn xác định "ổn định" và loại tiêu chí bạn đang tìm kiếm?

— Wolfgang Bangerth

Tôi đang tìm kiếm sự ổn định trong một sơ đồ số rõ ràng. Tương đương với điều kiện CFL.

— nicoguaro

6

Các phương trình sóng như thế này có thể được viết lại như một hệ thống hyperbolic của các định luật bảo toàn bậc nhất:

q_{t} + \nabla \cdot F (q) = 0.

$q_t + \nabla \cdot F(q) = 0.$

Bước thời gian ổn định cho bất kỳ sự rời rạc số rõ ràng nào phụ thuộc vào số CFL, tỷ lệ thuận với tốc độ sóng tối đa xuất hiện trong bài toán. Tốc độ đó có thể được tìm thấy bằng cách tính các giá trị riêng của Jacobian của hàm thông lượng, và lấy giá trị lớn nhất (tính theo giá trị tuyệt đối). $F$

Trong các kích thước , có các thành phần và phân tích thích hợp đòi hỏi phải tìm giá trị riêng của các kết hợp tuyến tính tùy ý của các thành phần đó. Nhưng đối với hầu hết các hệ thống, bao gồm cả độ đàn hồi, nó là đủ để nhìn vào giá trị riêng của mỗi người trong số các thành phần của . $d$ $F$ $d$ $F$

Một tài liệu tham khảo hay cho lý thuyết này là văn bản của LeVeque về các phương pháp khối lượng hữu hạn . Độ co giãn được đề cập chi tiết trong Chương 22.

Tất cả các cảnh báo thông thường liên quan đến điều kiện CFL được áp dụng: đó là điều kiện cần nhưng thường không đủ cho sự ổn định. Nhưng điều kiện đủ cho sự ổn định của một sự rời rạc nhất định thường được đưa ra bởi điều kiện CFL nhân với một số hằng số. Để tìm tiêu chí ổn định của bạn, bạn cần biết cả tốc độ sóng tối đa (dựa trên các phương trình bạn đang giải quyết) và hằng số đó (dựa trên mức độ rời rạc mà bạn đang sử dụng).

— David Ketcheson
nguồn

cảm ơn câu trả lời của bạn. Tôi đã học chương trong cuốn sách Leveque, và suy luận hình thức của các ma trận , và . Và tôi đã giảm các đa thức đặc trưng thành các phương trình bậc ba, nói chung, rất khó để giải quyết. Để kiểm tra đề xuất của bạn, tôi đơn giản hóa các phương trình cho trường hợp đẳng hướng ngang và giá trị riêng của mỗi phương trình không phải là cực đại của tốc độ. Sau đó, tôi đã tính toán các giá trị riêng cho các kết hợp tuyến tính và chúng thay đổi tùy theo hướng (như được mô tả trong sách). Có cần thiết phải tìm tối đa cho tất cả các hướng có thể sau đó?

A

$A$

B

$B$

C

$C$

— nicoguaro

2

Trong trường hợp vật liệu dị hướng, vận tốc pha của sóng truyền qua vật liệu đó được xác định bởi phương trình của Christoffel: Ở đây, là mật độ của vật liệu, là tốc độ lan truyền của sóng, là delta của Kronecker, là vectơ đơn vị theo hướng .

[ρ c^{2} δ_{i j} - C_{i j k l} n_{j} n_{l}] [u_{k}] = 0

$\begin{equation} [\rho c^2\delta_{ij} - C_{ijkl}n_jn_l][u_k]=0 \end{equation}$

ρ

$\rho$

c

$c$

δ

$\delta$

n_{j}

$n_j$

j

$j$

Có thể thấy rằng giải pháp tương ứng với việc lấy định thức của dấu ngoặc ở bên trái, đưa ra phương trình eigenvalue trong giá trị riêng . $\rho c^2$

Do đó, trong trường hợp bất đẳng hướng ba chiều, chúng ta vẫn có ba vận tốc pha khác nhau cho một hướng truyền cụ thể, trong đó phương pháp lớn nhất phải được sử dụng để phân tích CFL, theo cách tương tự như cách sử dụng tốc độ theo chiều dọc vấn đề đẳng hướng.

— DanielRch
nguồn

1

cảm ơn câu trả lời của bạn. Tôi biết rằng phương trình Christoffel chứa thông tin về tốc độ sóng, mặc dù tôi sẽ thêm rằng để tìm mức tối đa bạn cần giải cho tất cả các hướng (sử dụng tọa độ hình cầu) với giá trị riêng của phương trình Christoffel. Câu hỏi của tôi liên quan nhiều hơn đến điều kiện CFL cho trường hợp này (tôi không chắc liệu đó có phải chỉ là tính toán tốc độ tối đa cho vật liệu hay không).

max_{θ, ϕ} max_{i} λ_{i} (θ, ϕ)

$\max_{\theta, \phi} \max_i{\lambda_i(\theta, \phi)}\\$

λ_{i}

$\lambda_i$

— nicoguaro

1

Tôi sẽ mở rộng câu trả lời được cung cấp bởi @DavidKetcheson. Đầu tiên các phương trình được viết lại như một hệ thống hyperbolic của các định luật bảo toàn bậc nhất:

q_{t} + \nabla \cdot F (q) = 0

$q_t + \nabla \cdot F(q) = 0$

hoặc là

q_{t} + A q_{x} + B q_{y} + C q_{z} = 0

$q_t + A q_x + B q_y + C q_z = 0$

Trong đó là một vectơ trạng thái được hình thành với các thành phần của ứng suất căng và các thành phần của vectơ vận tốc . $q$ $(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{13})$ $(u, v, w)$

q = (\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{12} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ u \\ v \\ w \end{matrix}),

$q = \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{33}\\ \sigma_{12}\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{13}\\ u\\ v\\ w \end{pmatrix} \enspace ,$

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{11} & c_{16} & c_{15} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{12} & c_{26} & c_{25} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{13} & c_{36} & c_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{14} & c_{46} & c_{45} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{15} & c_{56} & c_{55} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{16} & c_{66} & c_{56} \\ \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{11} & {c}_{16} & {c}_{15}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{12} & {c}_{26} & {c}_{25}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{13} & {c}_{36} & {c}_{35}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{14} & {c}_{46} & {c}_{45}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{15} & {c}_{56} & {c}_{55}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{16} & {c}_{66} & {c}_{56}\\ \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace ,$

B = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{16} & c_{12} & c_{14} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{26} & c_{22} & c_{24} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{36} & c_{23} & c_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{46} & c_{24} & c_{44} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{56} & c_{25} & c_{45} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66} & c_{26} & c_{46} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{16} & {c}_{12} & {c}_{14}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{26} & {c}_{22} & {c}_{24}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{36} & {c}_{23} & {c}_{34}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{46} & {c}_{24} & {c}_{44}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{56} & {c}_{25} & {c}_{45}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{66} & {c}_{26} & {c}_{46}\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace ,$

C = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{15} & c_{14} & c_{13} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{25} & c_{24} & c_{23} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{35} & c_{34} & c_{33} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{45} & c_{44} & c_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{55} & c_{45} & c_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{56} & c_{46} & c_{36} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{15} & {c}_{14} & {c}_{13}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{25} & {c}_{24} & {c}_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{35} & {c}_{34} & {c}_{33}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{45} & {c}_{44} & {c}_{34}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{55} & {c}_{45} & {c}_{35}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{56} & {c}_{46} & {c}_{36}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace .$

Để tính tốc độ của sự cố (như được mô tả ở trên), chúng ta cần tạo ma trận , trong đó là một vectơ đơn vị và xác định hướng truyền. Để tìm điều kiện CFL cần phải giải quyết $\hat{A}(n_1, n_2, n_3) = n_1 A + n_2 B + n_3 C$ $\mathbb{n}=(n_1, n_2, n_3)$

max_{(θ, ϕ)} max_{i} γ_{i} (θ, ϕ)

$\max_{(\theta, \phi)} \max_i \gamma_i(\theta, \phi)$

trong đó là các góc hình cầu và là các giá trị riêng của ma trận . $(\theta, \phi)$ $\gamma_i$ $\hat{A}(\theta, \phi)$

Dựa trên điều này và câu trả lời được cung cấp bởi @DavidKetcheson, việc tính toán các giá trị riêng của phương trình Christoffel đơn giản hơn và giải bài toán tối ưu hóa

max_{(θ, ϕ)} max_{i} λ_{i} (θ, ϕ)

$\max_{(\theta, \phi)} \max_i \lambda_i(\theta, \phi)$

với giá trị riêng của phương trình Christoffel. Và tốc độ chỉ là . $\lambda_i$ $c = \sqrt{\lambda_i/\rho}$

— nicoguaro
nguồn