Ước tính định mức của chức năng hộp đen

Hãy để là một không gian véc tơ hữu hạn chiều với mức ‖ ⋅ ‖ và để cho F : V → R là một giáp tuyến tính chức năng. Nó chỉ được đưa ra dưới dạng hộp đen.$V$$\|\cdot\|$$F : V \rightarrow \mathbb R$

Tôi muốn ước tính định mức của (từ trên và dưới). Vì F là hộp đen, cách duy nhất để làm như vậy là kiểm tra nó với các vectơ đơn vị từ V và, dựa trên kết quả, tìm v ∈ S 1 V tối đa hóa | F ( v ) | .$F$$F$$V$$v \in S^1 V$$|F(v)|$

Bạn có biết một thuật toán như vậy? Trong ứng dụng mà tôi có, là một không gian phần tử hữu hạn và F là một hàm phức tạp trên không gian đó.$V$$F$

EDIT: ý tưởng đầu tiên của tôi là chọn một cách ngẫu nhiên, xáo trộn nó thành nhiều hướng, nói, v 1 , ... , v k , và sau đó lặp lại các thủ tục với v i mà có lớn nhất F ( v i ) . Tôi không biết tìm thuật toán và phân tích cho vấn đề này ở đâu.$v \in S^1 V$$v_1,\dots,v_k$$v_i$$F(v_i)$

Nếu không gian của bạn là một không gian Hilbert, sau đó Riesz lý nói rằng bạn có thể đại diện cho F ( v ) = ⟨ f , v ⟩ và bạn có thể tính toán f như bạn đề cập bằng cách cố gắng ra vectơ đơn vị. Nếu không gian có chiều cao hơn, thì điều này trở nên không thực tế, nhưng ít nhất bạn có thể tính toán ước tính của $V$$F(v)=\left< f, v \right>$$f$$f$ bằng cách tính cho một chuỗi các vectơ ngẫu nhiên v .$F(v)$$v$

Có lẽ bạn có thể sửa đổi dự toán Hager của số điều kiện (xem, ví dụ, giấy http://eprints.ma.man.ac.uk/321/01/35608.pdf ), trong đó giới hạn khi một thừa số của A được biết, để làm việc cho trường hợp cụ thể của bạn.$\|A^{-1}\|$$A$