Một sự khác biệt hữu hạn tốt cho phương trình liên tục

Điều gì sẽ là một sự khác biệt tốt hữu hạn cho phương trình sau đây:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho u\right)=0$ ?

Chúng ta có thể lấy trường hợp 1D:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{d}{dx}\left(\rho u\right)=0$

Vì một số lý do, tất cả các sơ đồ tôi có thể tìm thấy là cho công thức trong tọa độ Lagrangian. Tôi đã đưa ra kế hoạch này trong thời gian này (bỏ qua chỉ số j ):

$\frac{\rho^{n+1}_{i,j}-\rho^{n}_{i,j}}{\tau} + \frac{1}{h_x}\left(\frac{\rho^{n+1}_{i+1,j}+\rho^{n+1}_{i,j}}{2}u^{n}_{_xi+1/2,j}- \frac{\rho^{n+1}_{i,j}+\rho^{n+1}_{i-1,j}}{2}u^{n}_{_xi-1/2}\right)=0$

Nhưng dường như thực sự không ổn định hoặc có một số điều kiện ổn định khủng khiếp. Là vậy sao?

Vận tốc thực sự được tính toán thông qua định luật darcy . Thêm vào đó chúng ta có phương trình trạng thái. Toàn bộ hệ thống bao gồm một phương trình năng lượng và phương trình trạng thái của khí lý tưởng. Vận tốc có thể chuyển sang âm .$u=-\frac{k}{\mu}\nabla p$

Bạn đang xem phương trình bảo tồn khối lượng:

$\dfrac{dm}{dt}=0$

Khi xem xét sự tiến hóa khối lượng trên một đơn vị khối lượng, điều này làm sôi phương trình tiến bộ mật độ ở dạng thông lượng:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\rho u)$

Điều tốt về điều này là nó chỉ là phương trình tiến của trường vô hướng tùy ý (trong trường hợp của chúng tôi, điều này xảy ra là mật độ ) và nó (tương đối) dễ giải quyết, cung cấp các sơ đồ phân biệt thời gian và không gian thích hợp, và ban đầu và điều kiện biên.$\rho$

Khi thiết kế một sơ đồ khác biệt hữu hạn, chúng tôi lo lắng về sự hội tụ, tính ổn định và độ chính xác. Đề án được hội tụ nếu khiΔt→0. Sự ổn định của các chương trình đảm bảo rằng số lượngMộtvẫn hữu hạn khit→∞. Độ chính xác chính thức của sơ đồ cho biết lỗi cắt ngắn trong chuỗi mở rộng Taylor của đạo hàm riêng nằm ở đâu. Nhìn vào sách giáo khoa CFD để biết thêm chi tiết về các thuộc tính cơ bản này của sơ đồ khác biệt.$\dfrac{\Delta A}{\Delta t} \rightarrow \dfrac{\partial A}{\partial t}$$\Delta t \rightarrow 0$$A$$t \rightarrow \infty$

Bây giờ, cách tiếp cận đơn giản nhất là đi thẳng vào phân biệt ngược dòng bậc 1. Đề án này là tích cực-xác định, bảo thủ và tính toán hiệu quả. Hai tính chất đầu tiên đặc biệt quan trọng khi chúng ta mô hình hóa sự tiến hóa của một đại lượng luôn dương (tức là khối lượng hoặc mật độ).

Để đơn giản, chúng ta hãy xem trường hợp 1-D:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x}$

Bây giờ thuận tiện để xác định từ thông , do đó:$\Phi = \rho u$

$\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x} = \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \approx \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta x} \approx \dfrac{\Phi_{i+1/2}-\Phi_{i-1/2}}{\Delta x}$

Đây là sơ đồ của những gì chúng tôi đang mô phỏng:

            u           u
|          -->         -->          |
|    rho    |    rho    |    rho    |
x-----o-----x-----o-----x-----o-----x
     i-1  i-1/2   i   i+1/2  i+1

Chúng tôi đang đánh giá sự tiến hóa của tại ô i . Việc đạt được hoặc lỗ thuần xuất phát từ sự khác biệt của những gì đến trong, Φ i - 1 / 2 và đi khỏi, Φ i + 1 /$\rho$$i$$\Phi_{i-1/2}$$\Phi_{i+1/2}$. Đây là nơi chúng ta bắt đầu chuyển hướng từ câu trả lời của Paul. Trong sự khác biệt ngược dòng bảo thủ thực sự, đại lượng tại trung tâm tế bào đang được vận chuyển theo vận tốc ở cạnh tế bào của nó, theo hướng chuyển động của nó. Nói cách khác, nếu bạn tưởng tượng bạn là đại lượng được khuyến khích và bạn đang ngồi ở trung tâm tế bào, bạn đang được đưa vào phòng giam trước mặt bạn bằng vận tốc ở cạnh tế bào. Đánh giá từ thông ở cạnh tế bào là một sản phẩm của mật độ và vận tốc, cả ở cạnh tế bào, đều không đúng và không bảo toàn số lượng được đề xuất.

Thông lượng đến và đi được đánh giá là:

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i}$

Các điều trị khác nhau về sự khác biệt thông lượng đảm bảo ngược dòng. Nói cách khác, nó điều chỉnh hướng khác biệt theo dấu hiệu của vận tốc.

Tiêu chí ổn định Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), khi thực hiện phân biệt thời gian với đơn hàng đầu tiên đơn giản, phân biệt Euler chuyển tiếp được đưa ra là:

$\mu = \dfrac{u\Delta t}{\Delta x} \leq 1$

Lưu ý rằng trong 2 chiều, tiêu chí ổn định CFL nghiêm ngặt hơn:

$\mu = \dfrac{c\Delta t}{\Delta x} \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Trong đó là cường độ vận tốc, $c$ .$\sqrt{u^{2}+v^{2}}$

Một số điều cần xem xét. Lược đồ này có thể phù hợp hoặc không phù hợp với ứng dụng của bạn tùy thuộc vào loại quy trình bạn đang mô phỏng. Sơ đồ này có độ khuếch tán cao, và thích hợp cho các dòng chảy rất trơn tru mà không có độ dốc sắc nét. Nó cũng phổ biến hơn cho các bước thời gian ngắn hơn. Trong trường hợp 1-D, bạn sẽ có được một giải pháp gần như chính xác nếu độ dốc rất nhỏ và nếu . Trong trường hợp 2 chiều, điều này là không thể, và khuếch tán là bất đẳng hướng.$\mu = 1$

Nếu hệ thống vật lý của bạn xem xét sóng xung kích hoặc độ dốc cao của loại khác, bạn nên xem xét sự khác biệt ngược dòng của thứ tự cao hơn (ví dụ thứ 3 hoặc thứ 5). Ngoài ra, có thể đáng để xem xét các chương trình của Flux Corrected Transport (Zalesak, 1979, JCP); hiệu chỉnh chống khuếch tán cho sơ đồ trên của Smolarkiewicz (1984, JCP); Họ đề án MPDATA của Smolarkiewicz (1998, JCP).

Đối với sự khác biệt về thời gian, sự khác biệt về phía trước của Euler có thể thỏa mãn cho nhu cầu của bạn. Mặt khác, xem xét các phương pháp bậc cao hơn như Runge-Kutta (lặp), hoặc Adams-Bashforth và Adams-Moulton (đa cấp).

Sẽ đáng để xem xét một số sách giáo khoa cấp độ CFD để biết tóm tắt về các đề án nêu trên và nhiều hơn nữa.

$(\frac{d}{dx})$

$\frac{\rho_i^{k+1}-\rho_i^k}{\Delta t} + \frac{\rho_i^k U_i^k-\rho_{i-1}^k U_{i-1}^k}{\Delta x} = 0$

$\Delta x$$\Delta t$