Xây dựng cơ sở phần tử hữu hạn / cho lưới tam giác hoặc tứ diện

Trong bài viết Phương pháp phần tử hữu hạn phân cấp phù hợp cho phương trình Biharmonic , P. Oswald tuyên bố các phần tử loại Clough-Tocher có liên tục trong khi là một đa thức bậc ba trên mỗi tam giác. Anh ta đã không đưa ra một tập hợp các hàm cơ sở rõ ràng chỉ là mức độ tự do tiêu chuẩn trên các điểm cầu phương.$C^1$

Tương tự, trong cuốn sách Lý thuyết toán học về phương pháp phần tử hữu hạn Chương 3, các tác giả đã cho chúng ta xây dựng các phần tử hữu hạn Hermite khối, nhưng họ không đề cập đến tính liên tục của các phần tử Hermite khối.

Tuy nhiên, trong bài báo Các phức hệ vi phân và độ ổn định số , Doulgas Arnold đã đề xuất rằng đối với không gian riêng biệt / chúng ta nên sử dụng các phần tử hữu hạn của quite Hermite (hay đúng hơn là Argyris), rất phức tạp để thể hiện rõ ràng.$C^1$$H^2$

Vì vậy, đây là những câu hỏi của tôi:

(1) Có bài báo nào đưa ra một công thức rõ ràng cho các phần tử hữu hạn / trên lưới tam giác hoặc tứ diện không?$C^1$$H^2$

(2) Khối piecewise có nên là mức độ tối thiểu của yêu cầu đa thức đối với liên kết không?$C^1$

Các phần tử Hermite hình khối có đạo hàm bình thường liên tục nhưng không đầy đủ liên tục. Cụ thể, các dẫn xuất bình thường có thể không khớp với ranh giới của hai phần tử, cách xa các đỉnh. Nếu bạn muốn liên tục đầy đủ, bạn sẽ phải sử dụng yếu tố Argyris hoặc Hsieh-Clough-Tucker hoặc một cái gì đó. Tôi đề nghị thảo luận trong chương 6 của cuốn sách yếu tố hữu hạn của Ciarlet.$C^1$$C^1$

Mức độ đa thức cần thiết cho tính liên tục của sẽ phụ thuộc vào kích thước không gian của bạn, nhưng ở dạng 2D hoặc 3D tôi không nghĩ bạn có thể thoát khỏi với đa thức bậc ba. Bạn có thể xem xét một số loại phương pháp không phù hợp có thể cho phép một không gian phần tử hữu hạn đơn giản hơn.$C^1$

Tôi giới thiệu bạn đến cuốn sách Splines on Triangulation . Tôi không thể xác định bản sao của mình tại thời điểm này để cung cấp cho bạn câu trả lời tốt hơn, nhưng tôi nhớ lại một cuộc thảo luận / định lý về thứ tự đa thức cần thiết cho khoảng trắng . Nếu tôi nhớ lại một cách chính xác, Lai chứng minh rằng trong những điều kiện nhất định là OK, nhưng luôn luôn là đủ.$C^1$$p=3$$p=5$

Thật không may, tôi cũng nhớ rằng Lai không chỉ ra cách xây dựng các không gian , mà chỉ chứng minh rằng chúng tồn tại với một hình tam giác và một không gian spline. Khi anh ta có bằng chứng này, anh ta giải quyết ứng dụng của mình với các phương trình ràng buộc tuyến tính bổ sung để thực thi điều kiện .$C^1$$C^1$

Bạn có thể tham khảo các trang sau để biết danh sách đầy đủ các chức năng cơ bản cho Argyris: FEMList.pdf Mục nhập Wikipedia (tiếng Pháp)

Ngoài ra, bạn có thể sử dụng VT-ICAM ArgyrisPack mà một đồng nghiệp và tôi đã phát triển.