Các phần tử Raviart-Thomas trên hình vuông tham chiếu

Tôi muốn tìm hiểu cách hoạt động của phần tử Raviart-Thomas (RT). Cuối cùng, tôi muốn mô tả một cách phân tích các hàm cơ sở trông như thế nào trên hình vuông tham chiếu. Mục tiêu ở đây không phải là tự mình thực hiện nó, mà là để có được sự hiểu biết trực quan về yếu tố này.

Tôi chủ yếu dựa vào công việc này từ các yếu tố hình tam giác được thảo luận ở đây , có lẽ việc mở rộng nó thành tứ giác là một sai lầm trong chính nó.

Điều đó nói rằng, tôi có thể định nghĩa các hàm cơ bản cho phần tử RK đầu tiên RK0:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$$ cho$i = 1,\dots,4.$

Các điều kiện trên là:$\mathbf{\phi}_i$

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$

trong đó là đơn vị bình thường được hiển thị bên dưới và là tọa độ của nó.x$\mathbf{n}_j$$\mathbf{x}_j$

Đây là hình vuông tham chiếu , vì vậy điều này dẫn đến một hệ phương trình cho mỗi hàm cơ sở. Đối với đây là:φ$[-1,1]\times[1,1]$$\mathbf{\phi}_1$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$$

có thể được giải quyết để cung cấp:

$$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$$

Các chức năng cơ bản khác có thể được tìm thấy tương tự.

Giả sử điều này là chính xác, bước tiếp theo là tìm các hàm cơ bản cho RK1. Đây là nơi tôi cảm thấy không chắc chắn về bản thân. Theo liên kết trên, không gian chúng tôi quan tâm là:

$$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$$

Cơ sở cho sẽ là$P_1$$\{ 1, x, y\}$

Tôi nghĩ điều này có nghĩa là các hàm cơ sở RK1 sẽ có dạng:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$$

Điều này để lại 10 ẩn số cho mỗi chức năng cơ bản. Nếu chúng ta áp dụng các điều kiện tương tự như trong trường hợp RK0, cụ thể là:

, trong đó n j là đơn vị bình thường như hình dưới đây:

$$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$$ $\mathbf{n}_j$

điều này cho chúng ta 8 phương trình. 2 cái khác tôi nghĩ có thể được tìm thấy từ một số thời điểm. Tôi không thực sự chắc chắn làm thế nào chính xác. Liên kết ở trên nói về việc tích hợp dựa trên cơ sở cho , nhưng tôi gặp khó khăn khi tìm hiểu điều đó có nghĩa là gì. Tôi đang đi đúng hướng, hay tôi đã hoàn toàn bỏ lỡ điều gì ở đây?$[P_1]^2$

Nói chung, bạn không thể chuyển cơ sở đa thức tương tự từ tứ diện sang các phần tử tứ giác. ¹ Đặc biệt, toàn bộ điểm của các phần tử tứ giác là làm việc với các sản phẩm tenxơ của đa thức một chiều, điều này là không thể đối với các phần tử tứ diện.

Thực tế có các phần tử Raviart-Thomas tứ giác, nhưng định nghĩa của chúng là khác nhau. Trong hai chiều, không gian đa thức cho được cho bởi P k + 1 , k × P k , k + 1 , trong đó P k , l = { k ∑ i = 0 l ∑ j = 0 a i j x i y j : a i j ∈ R $RT_k$

$$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$$ Một đa thức điển hình cho k = 0 sẽ như bạn đã viết, nhưng với k = 1 thì nó sẽ là ( a 1 + b 1 x + c 1 x 2 + d 1 y + e 1 x y + f 2 x 2 y a 2 + b 2 y + c 2 y 2 + d 2 x + e 2 $$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$$ $k=0$$k=1$ Do đó,dimRT1=12và nói chung,dimRTk=2(k+1)(k+2). Điều này có nghĩa là bạn cần thêm hai bậc tự do, nên được đặt ở bên trong của phần tử. (Nói chung, đối vớiRTk,bạn lấyk+1đạo hàm bình thường trên mỗi khía cạnh và các mức độ tự do còn lại từ bên trong.) $$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$$ $\dim RT_1 = 12$$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$$RT_k$$k+1$

Để trả lời câu hỏi thực tế của bạn: Đối với các yếu tố Raviart-Thomas, bạn thường mất những khoảnh khắc chứ không phải là đánh giá điểm, tức là các điều kiện còn lại đến từ các điều kiện trong đó { q j } là cơ sở của P k - 1 , k × P k , k - 1 (ví dụ: { 1 , x , y } với k = 1 ). Để làm cho nó dễ dàng hơn để có được một cơ sở nút đầy đủ, mức độ tự do của khía cạnh thường không được lấy làm đánh giá điểm, mà còn là điều kiện thời điểm: ∫ e m ϕ i ( s )

$$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$$ $\{q_j\}$$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$$\{1,x,y\}$$k=1$ trong đó e m là một trong bốn cạnh, ν e m là bình thường bên ngoài tương ứng và với mỗi m , q m , j tạo thành một cơ sở của P k ( e m ) (ví dụ: { 1 , x } hoặc { 1 , y } cho k = 1 tùy theo hướng cạnh). Cùng với nhau, các mức độ tự do này là không thể phá hủy (nghĩa là hệ thống các chức năng cơ bản tương ứng luôn luôn không thể đảo ngược). $$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$$ $e_m$$\nu_{e_m}$$m$$q_{m,j}$$P_k(e_m)$$\{1,x\}$$\{1,y\}$$k=1$

$H(div)$

---

_{$k$$k$$k$$k$$x^2y$$3$$2$}