Mục đích của chức năng kiểm tra trong Phân tích phần tử hữu hạn là gì?

Trong phương trình sóng:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

Tại sao trước tiên chúng ta nhân với một hàm kiểm tra $v(x,t)$ trước khi tích hợp?

finite-element

— Andy
nguồn

Câu trả lời ngắn: Bởi vì phương pháp phần tử hữu hạn là sự rời rạc của công thức yếu, không phải là công thức mạnh (mà bạn đã đưa ra). Câu trả lời trung bình: Bởi vì bạn không thể chắc chắn tìm thấy một hàm hữu hạn chiều sao cho phương trình được thỏa mãn; tốt nhất bạn có thể hy vọng phần dư sẽ trực giao với không gian giải pháp hữu hạn - hoặc tương đương, trực giao với bất kỳ phần tử nào của không gian đó (chính xác là hàm kiểm tra). Tích hợp bởi các bộ phận không quan trọng bằng, và trong trường hợp của bạn vì mục đích đối xứng. Câu trả lời dài quá dài cho một bình luận :)

— Christian Clason

Một lời giải thích ngắn gọn khác: Nếu bạn chỉ tích hợp và đặt thành 0, bạn đang yêu cầu giá trị trung bình biến mất - không phải là tất cả những gì bạn đang tìm kiếm, bởi vì sau đó phần dư có thể rất lớn trong một phần của miền, miễn là nó là lớn với dấu hiệu ngược lại trong một cái khác. Các chức năng kiểm tra về bản chất "bản địa hóa" phần dư cho mỗi phần tử.

— Christian Clason

Để biết giải thích khác, hãy xem câu trả lời này: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/ mẹo

— Paul

Câu trả lời:

Bạn đang đến nó ngược. Sự biện minh được nhìn thấy rõ hơn bằng cách bắt đầu từ cài đặt đa dạng và làm việc theo hướng mạnh mẽ. Khi bạn đã thực hiện điều này, khái niệm nhân với một hàm kiểm tra và tích hợp có thể được áp dụng cho các vấn đề mà bạn không bắt đầu với một vấn đề tối thiểu hóa.

Vì vậy, hãy xem xét vấn đề mà chúng tôi muốn giảm thiểu (và làm việc chính thức và không nghiêm ngặt ở đây):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

tuân theo một số điều kiện biên trên . Nếu chúng ta muốn điều này đạt đến mức tối thiểu, chúng ta cần phân biệt nó với , đó là một chức năng. Hiện tại có một số cách tốt để xem xét loại dẫn xuất này, nhưng một cách nó được giới thiệu là tính toán $\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

trong đó chỉ là vô hướng. Bạn có thể thấy rằng điều này tương tự với định nghĩa truyền thống về đạo hàm cho các hàm vô hướng của biến vô hướng nhưng được mở rộng thành các hàm như trả lại vô hướng nhưng có miền của chúng qua các hàm. $h$ $I$

Nếu chúng tôi tính toán điều này cho của (chủ yếu sử dụng quy tắc chuỗi), chúng tôi sẽ nhận được $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

Đặt giá trị này thành 0 để tìm mức tối thiểu, chúng ta có một phương trình giống như câu lệnh yếu cho phương trình của Laplace:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Bây giờ, nếu chúng ta sử dụng The Divergence Theorm (hay còn gọi là tích hợp đa số theo từng phần), chúng ta có thể lấy đạo hàm của và đặt nó lên để có được $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Bây giờ điều này thực sự nhìn vào nơi bạn bắt đầu khi bạn muốn xây dựng một câu lệnh yếu từ một phương trình vi phân từng phần. Đưa ra ý tưởng này ngay bây giờ, bạn có thể sử dụng nó cho bất kỳ PDE nào, chỉ cần nhân với một hàm kiểm tra, tích hợp, áp dụng Định lý phân kỳ và sau đó rời rạc.

— Bill Barth
nguồn

Tôi muốn giải thích nó về việc giảm thiểu phần dư có trọng số.

— nicoguaro

@nicoguaro, OK, sau đó bạn có thể viết câu trả lời đó và chúng tôi sẽ xem câu trả lời nào có ý nghĩa hơn với OP. :)

— Bill Barth

1 đã chỉ ra rằng hình thức yếu là thực sự (hoặc ít nhất là thường xuyên) hơn tự nhiên hơn so với hình thức mạnh mẽ.

— Christian Clason

Hấp dẫn. Một loại tiếp tuyến, nhưng liên quan đến "Hiện tại có một số cách tốt để xem xét loại phái sinh này" : phương pháp duy nhất tôi học được là cách bạn đã đề cập. Có những loại nào khác?

— dùng541686

h

$h$

Như tôi đã đề cập trước đây, tôi thích nghĩ về hình thức yếu như một phần dư.

$\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

$R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

Một điều quan trọng về điều này là nó xác định một chức năng, vì vậy bạn có thể giảm thiểu nó. Điều này có thể làm việc cho các chức năng không có hình thức đa dạng. Tôi mô tả thêm một chút trong bài viết này . Bạn có thể chọn chức năng $w$ $\hat{u}$

Nếu bạn chọn trường hợp đầu tiên, thì bạn sẽ kết thúc với một phương trình giống như phương trình được mô tả bởi @BillBarth.

— nicoguaro
nguồn