Cách tốt nhất để tìm thấy sự không liên tục của chức năng hộp đen là gì?

Có ý kiến ​​cho rằng đây có thể là một nơi tốt hơn cho câu hỏi này so với Toán học trao đổi ngăn xếp mà tôi đã hỏi nó trước đây .

Giả sử một người có chức năng hộp đen có thể được đánh giá ở bất cứ đâu (giá rẻ) trong một khoảng thời gian xác định và không có nhiễu (ngoại trừ độ chi tiết của dấu phẩy động). Điều gì sẽ là cách tốt nhất để tìm thấy sự không liên tục của chức năng này? Tôi không biết có bao nhiêu điểm không liên tục và có thể không có gì.$[a,b]$

Tôi có thể nghĩ ra một số phương pháp đơn giản (lấy mẫu thống nhất, tinh chỉnh nơi có sự khác biệt lớn giữa các mẫu, ...), nhưng có lẽ có cách nào tốt hơn?

Hàm này "hợp lý" ở chỗ người ta có thể cho rằng nó có nhiều điểm không liên tục, tương tự đối với các dẫn xuất cao hơn, tôi không bận tâm nếu sự gián đoạn bệnh lý nhỏ bị bỏ qua ... (ứng dụng là âm mưu tự động của các hàm 1d) .

-

Cảm ơn tất cả những người đã trả lời, đặc biệt là Pedro; phương pháp được mô tả trong Pachón, Platte và Trefethen dường như là cách tiếp cận tốt nhất với tôi, vì vậy tôi đi ngay bây giờ để thực hiện nó

Nếu bạn đang sử dụng Matlab, bạn có thể quan tâm đến dự án Chebfun . Chebfun nhận một hàm, lấy mẫu và cố gắng biểu diễn nó dưới dạng nội suy đa thức. Nếu chức năng của bạn có sự không liên tục, Chebfun sẽ có thể phát hiện ra chúng bằng splitting onlệnh. Bạn có thể tìm thấy một số ví dụ ở đây .

Nếu bạn quan tâm đến các thuật toán cơ bản, một tài liệu tham khảo tốt là bài báo " Piecewise Smooth Chebfun " của Pachón, Platte và Trefethen .

Tôi nghi ngờ rằng thuật toán chebfun phải có vẻ thực tế hơn, nhưng cần phải đề cập đến một cách nữa để phát hiện sự không liên tục, cụ thể là biến đổi wavelet rời rạc. Bạn có thể biết ý tưởng về cách thức hoạt động của nó bằng cách xem trang tài liệu Mathicala này , xem phần> Ứng dụng> Phát hiện sự không liên tục và các cạnh.

$f$

Các phương pháp có trọng số cơ bản không dao động (WENO) sử dụng "các chỉ số độ mịn" để phát hiện sự không liên tục trong các phương pháp hữu hạn và khối lượng hữu hạn. Từ mô tả của Chebfun mà Pedro đưa ra, có vẻ như ý tưởng chung là như nhau: xây dựng một tập hợp các đa thức nội suy và sử dụng chúng để tính toán một số phép đo độ mịn.

Xem GS Jiang và CW Shu, triển khai hiệu quả các chương trình ENO có trọng số, J.Comput.Phys., Vol. 126, trang 202--228, 1996.

Cùng với @Pedro, tôi sẽ xem xét các thuật toán phát hiện cạnh. Sự gián đoạn là vô hạn đối với công cụ phái sinh, vì vậy hãy xem xét việc xem xét một mạng lưới ngày càng tốt và nhắm mục tiêu vào các khu vực quan tâm.

Sự gần đúng sai phân hữu hạn với đạo hàm của hàm liên tục sẽ giảm khi lưới được tinh chế. So sánh kết quả khác biệt hữu hạn cho đạo hàm giữa các mắt lưới sau đó có thể cho thấy sự khác biệt về độ dốc mà tín hiệu không liên tục.

$f(x) = \mathrm{sign}(x) \sqrt{|x|}$$x=0$$h_x \rightarrow 0$