Các sơ đồ sai phân hữu hạn cho phương trình tiến

Có rất nhiều sơ đồ FD cho phương trình tiến lên thảo luận trên web. Ví dụ ở đây: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Nhưng tôi chưa thấy ai đề xuất một sơ đồ hướng gió "ngầm" như thế này: .$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Tất cả các sơ đồ ngược mà tôi thấy là xử lý dữ liệu ở bước trước đó trong đạo hàm không gian. lý do cho điều đó là gì? Làm thế nào để sơ đồ ngược gió cổ điển so với cái tôi đã viết ở trên?

Nó khá phổ biến trong động lực học chất lỏng tính toán để sử dụng các sơ đồ ngầm tương tự như những gì bạn đề xuất. Những cái tôi biết dựa trên các công thức sai phân hữu hạn nhỏ gọn (không chỉ đơn giản là thay thế bằng trong các sơ đồ hiện có). Chẳng hạn, một trong những phương án được sử dụng rộng rãi nhất đã được Lele phát triển vào năm 1992 trong bài báo này với> 2500 trích dẫn. Các sơ đồ như vậy có thể được thực hiện để có các đặc tính phân tán tốt hơn các sơ đồ rõ ràng điển hình.$n$$n+1$

Upwinding thường ít quan trọng hơn khi sử dụng các phương thức ngầm và kích thước bước thời gian lớn, bởi vì lượng khuếch tán khổng lồ (được đề cập bởi Jeremy) có nghĩa là bạn không thể giải quyết các cú sốc.

Về chương trình cụ thể mà bạn đề xuất:

• Nó có thể thu được từ sự phân biệt phương thức của dòng bằng cách sử dụng sự khác biệt ngược về không gian và phương thức Euler ngược (ẩn) theo thời gian.
• Nó ổn định vô điều kiện miễn là (thật thú vị, nó cũng ổn định cho nếu bước thời gian không quá nhỏ !) $u\ge0$$u<0$
• Nó tiêu tan hơn so với sơ đồ hướng gió rõ ràng truyền thống.
• Không giống như sơ đồ hướng gió rõ ràng, nó không thỏa mãn điều kiện CFL đơn vị (nghĩa là không chính xác trong trường hợp ). Thay vào đó, nó thỏa mãn điều kiện CFL chống đơn vị (chính xác là nếu ).$\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

Không có lý do gì mà bạn không thể làm những gì bạn đã viết. Một trong những lý do mà điều này là không phổ biến là vì có các vấn đề kiểu hyperbolic (advection), miền phụ thuộc là hữu hạn. Do đó, một phương pháp rõ ràng có ý nghĩa từ quan điểm hiệu quả tính toán.

Lược đồ ngầm mà bạn đã viết sẽ yêu cầu giải một hệ thống tuyến tính, mặc dù trong trường hợp bạn đã viết hình tam giác, và do đó khá đơn giản để giải quyết. Tất nhiên, khi bạn đi đến các hệ thống và nhiều chiều, hệ thống có thể sẽ không có hình tam giác, mặc dù đôi khi điều này có thể dẫn đến một thứ tự đúng của các ẩn số của bạn (ví dụ: Kwok và Tchelepi, JCP 2007 và Gustafsson và Khalighi, JSC, 2006 ).

Đôi khi với hy vọng thực hiện các bước thời gian lớn, mọi người sẽ sử dụng bước thời gian ngầm như bạn đã viết, nhưng bạn phải cẩn thận ở đây. Khi sử dụng một phương pháp ngầm, bạn sẽ giới thiệu một lượng lớn khuếch tán, do đó bạn sẽ làm mờ đi giải pháp của mình một cách đáng kể.