Trong FEM, tại sao ma trận độ cứng xác định dương?

10

Trong các lớp FEM, người ta thường cho rằng ma trận độ cứng là dương xác định, nhưng tôi không thể hiểu tại sao. Bất cứ ai có thể đưa ra một số lời giải thích?

Ví dụ, chúng ta có thể xem xét các vấn đề Poisson: có ma trận độ cứng là:

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

mà là đối xứng và tích cực nhất định. Đối xứng là một tài sản rõ ràng, nhưng sự dứt khoát tích cực không phải là quá rõ ràng đối với tôi.

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$

finite-element matrix stiffness

— người dùng123
nguồn

1

Điều này thực sự phụ thuộc vào phương trình vi phân từng phần mà bạn đang cố gắng giải quyết. Bạn có thể thêm một trong những bạn quan tâm?

— Christian Clason

Xin chào, @ChristianClason, cảm ơn bạn đã bình luận. Tôi đã thêm một ví dụ cụ thể về vấn đề này.

— dùng123

3

Hãy cẩn thận: Không có điều kiện biên, ma trận độ cứng hệ thống hoàn chỉnh, được tập hợp từ ma trận phần tử, không có thứ hạng đầy đủ, vì nó phải ánh xạ tương đương với chuyển động cơ thể cứng thành lực bằng không. Do đó, ma trận độ cứng hoàn toàn có thể tốt nhất là nửa cực dương. Tuy nhiên, với các điều kiện biên thích hợp, các chuyển động cơ thể cứng nhắc sẽ bị vô hiệu hóa và hệ thống bị ràng buộc sau đó là vô nghĩa. (Nếu không, người ta không thể giải quyết nó). Do đó, để tìm ra sự dứt khoát tích cực thực sự, bạn phải nhìn vào ma trận cô đặc do áp dụng các điều kiện biên.

— ccorn

13

Các tính chất theo sau tính chất của phương trình vi phân từng phần tương ứng (dạng yếu của); đây là một trong những lợi thế của phương pháp phần tử hữu hạn so với, ví dụ, phương pháp sai phân hữu hạn.

$u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

Bây giờ cách tiếp cận phần tử hữu hạn cổ điển là thay thế không gian vô hạn bằng không gian con chiều hữu hạn và tìm sao cho Thuộc tính quan trọng ở đây là rằng bạn đang sử dụng cùng và một không gian con (một sự rời rạc phù hợp ); điều đó có nghĩa là bạn vẫn có $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Bây giờ là bước cuối cùng: Để chuyển đổi dạng biến thiên thành một hệ phương trình tuyến tính, bạn chọn một cơ sở của , viết và chèn , vào . Ma trận độ cứng sau đó có các mục (trùng với những gì bạn đã viết). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Bây giờ, hãy lấy một vectơ tùy ý và đặt . Sau đó, chúng ta có và tính song song của (nghĩa là bạn có thể di chuyển vô hướng và tổng thành cả hai đối số) Vì là tùy ý, điều này ngụ ý rằng là xác định dương. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: Ma trận độ cứng là xác định dương bởi vì nó xuất phát từ sự rời rạc phù hợp của một phương trình vi phân một phần elip (tự điều chỉnh) .

— Christian Clason
nguồn

2

Nếu độ cứng của phần tử không dương, thì hệ thống không ổn định. Vì vậy, mô hình rất có thể không chính xác. Nhìn vào phương trình cơ bản nhất của dao động điều hòa

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

Giải pháp không ổn định nếu âm (nhìn vào gốc của phương trình đặc trưng). Nó có nghĩa là giải pháp sẽ nổ tung. Độ cứng phải là một lực phục hồi. Ít nhất là cho một mùa xuân vật lý. Ma trận độ cứng mở rộng điều này đến số lượng lớn các phần tử (ma trận độ cứng toàn cầu). Đó là tất cả. Nhưng đó là cùng một ý tưởng cơ bản. Cơ sở FEM là trong phương pháp ma trận độ cứng để phân tích cấu trúc trong đó mỗi phần tử có độ cứng liên quan đến nó. $k$

— Nasser
nguồn