Những phương pháp số nào bảo tồn đối xứng ngược thời gian?

Nếu tôi có một hệ vật lý chứa đối xứng đảo ngược thời gian (ví dụ Hamiltonian với thực) và tôi muốn giải các phương trình vi phân mô tả hệ thống này, tôi nên sử dụng bộ giải nào cho ODE để giữ đối xứng đảo ngược thời gian (ví dụ như trong mathicala)? Những người giải quyết phá vỡ đối xứng này? $H(x,p)=p^2/2m + V(x)$ $V(x)$

EDIT: Tôi muốn mở rộng câu hỏi này. Chúng ta hãy xem xét một hệ thống các phương trình vi phân bậc nhất được ghép nối Phương pháp tích hợp nào được sử dụng tốt nhất nếu hệ thống cơ bản chứa đối xứng đảo ngược thời gian?

{\dot{a}}_{1} (t) = f_{1} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) {\dot{a}}_{2} (t) = f_{2} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) {\dot{a}}_{3} (t) = f_{3} (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}; t) ⋮

$\dot{a}_1 (t) = f_1(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_2(t) = f_2(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \dot{a}_3(t) = f_3(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n;t) \\ \vdots$

ode time-integration symmetry

— Merlin1896
nguồn

Tôi nghĩ rằng một nhà tích hợp Symplectic có thể làm điều đó. Ví dụ, tích hợp Verlet .

— nicoguaro

@nicoguaro Như tôi dự định sử dụng mathicala: có phương pháp Verlet nào không?

— Merlin1896

Tôi hầu như không sử dụng Mathicala. Bạn có thể kiểm tra bài đăng

— nicoguaro

Câu trả lời của @nicoguaro (trong các bình luận) là chính xác. Chọn nó

— Inon

@RM là bình luận trước đó của bạn thiếu "không"?

— Federico Poloni

Điều người ta thường muốn trong tình huống này là duy trì sự tương tự rời rạc của đối xứng thời gian: cụ thể là, nếu sự rời rạc thời gian được áp dụng để giải quyết trước và sau đó ngược thời gian, điều kiện ban đầu được phục hồi. Điều này đúng nếu phương thức là bất biến theo các thay thế sau:

Δ t \to - Δ t

$\Delta t \to -\Delta t$

a^{n + j} \to a^{n - j}

$a^{n+j} \to a^{n-j}$

(ở đây là xấp xỉ bằng số của giải pháp , vì vậy sự thay thế thứ hai được ngụ ý bởi lần đầu tiên). $a^n$ $a(t^n)$

Tôi sẽ đưa ra hai ví dụ để minh họa. Phương thức Euler rõ ràng không bảo toàn tính đối xứng thời gian; áp dụng ngược thời gian nó trở thành phương thức Euler ẩn: Mặt khác, phương pháp trung điểm (hoặc bước nhảy vọt ) không bảo toàn tính đối xứng ngược thời gian. Các phương pháp nổi tiếng khác bảo tồn tính đối xứng ngược thời gian bao gồm phương pháp hình thang và (như đã đề cập trong các ý kiến) phương pháp Verlet.

a^{n + 1} = a^{n} + Δ t f (a^{n})

$a^{n+1} = a^n + \Delta t f(a^n)$

a^{n} = a^{n - 1} + Δ t f (a^{n}) .

$a^n = a^{n-1} + \Delta t f(a^n).$

a^{n + 1} = a^{n - 1} + 2 Δ t f (a^{n})

$a^{n+1} = a^{n-1} + 2\Delta t f(a^n)$

— David Ketcheson
nguồn