Điểm chuẩn cho các cơ sở Gröbner và giải pháp hệ thống đa thức

Trong câu hỏi gần đây Giải hệ thống 7 phương trình đại số phi tuyến một cách tượng trưng , Brian Borchers đã xác nhận bằng thực nghiệm rằng Maple có thể giải một hệ đa thức mà Matlab / Mupad không thể xử lý. Trước đây tôi đã nghe từ những người làm việc trong lĩnh vực rằng Maple có triển khai chất lượng cao các cơ sở Gröbner và các thuật toán liên quan (mà tôi cho là những gì đang được sử dụng ở đây).

Vì vậy, tôi rất muốn đề xuất "Matlab chậm về loại vấn đề này, chuyển sang Maple", nhưng tôi muốn có dữ liệu để sao lưu tuyên bố này.

Có một tập hợp các kết quả điểm chuẩn so sánh tốc độ và hiệu quả của việc triển khai cơ sở Gröbner và các giải pháp hệ thống đa thức trong các hệ thống đại số máy tính khác nhau không? (Maple, Mathicala, hộp công cụ tượng trưng của Matlab, et cetera).

Tôi đã đăng một số điểm chuẩn ở đây: http://www.cecm.sfu.ca/~rpearcea/mgb.html

Đây là cho tổng số đơn đặt hàng mức độ. Để giải quyết các hệ thống, bạn thường cần phải làm nhiều việc hơn. Thời gian dành cho máy tính để bàn tầm trung điển hình vào năm 2015 (lõi tứ Haswell Core i5).

Hệ thống nhanh nhất trên một lõi là Magma, sử dụng số học dấu phẩy động và SSE / AVX. Magma là hệ thống mạnh nhất vì nó có triển khai tốt FGLM và Groebner walk (chưa được thử nghiệm). Các thuật toán này được sử dụng để chuyển đổi cơ sở tổng độ thành cơ sở từ điển có dạng hình tam giác. Sau đó, bạn thường yếu tố đa thức trong các biến thấp nhất.

mgb là thư viện C trong Maple 2016 thực hiện thuật toán F4 cho tổng số đơn đặt hàng và loại bỏ. Hiệu năng của nó tương đương với Magma khi sử dụng nhiều lõi.

FGb là triển khai F4 của Faugere. Phiên bản được thử nghiệm ở đây là từ trang web của anh ấy, và nó nhanh hơn phiên bản trong Maple.

Giac là một hệ thống nguồn mở với việc triển khai F4. Có một bài viết mô tả nó http://arxiv.org/abs/1309.4044

Singular là một hệ thống nguồn mở cho nhiều tính toán trong hình học đại số. Các điểm chuẩn ở đây sử dụng "modStd", đây là phiên bản đa mô-đun của thuật toán Buchberger. Bạn có thể thấy thuật toán Buchberger không cạnh tranh với F4. Lý do cơ bản là F4 khấu hao chi phí của tất cả các hoạt động đơn trị. Bên cạnh đó, Singular có triển khai FGLM và Groebner Walk một cách hợp lý, cũng như các thuật toán khác hữu ích để giải quyết.

Googling benchmark polynomial systemsdẫn đến một vài hit, bao gồm Sáng kiến ​​Điểm chuẩn Đại số Máy tính của Đại học Mannheim . Đáng buồn thay, hầu hết trong số này đã hết hạn hoặc không còn tồn tại. Hoạt động mạnh nhất dường như là Wiki tượng trưng , nhưng theo như tôi có thể nói, nó chỉ thu thập các vấn đề điểm chuẩn chứ không phải kết quả điểm chuẩn .

Một số so sánh (có từ năm 1996) của Axiom, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD và Giảm hệ thống đa thức có thể được tìm thấy trong Hans-Gert Gräbe, Giới thiệu về Hệ thống đa thức của Axiom, Macsyma, Maple, Matha và Giảm , Bản in 11/96 des Instituts für Informatik, Đại học Leipzig, Đức, tháng 12 năm 1996 . Kết luận là Axiom, Maple và Giảm giành chiến thắng do họ sử dụng các căn cứ Gröbner (những người khác đã không ở thời điểm này), với Maple đi ra trước một chút so với những người khác.

Ngoài ra còn có một so sánh cũ trên trang web SINGULAR cho thấy SINGULAR 2.0 (hiện tại tính đến tháng 12 năm 2015 là 4.0.2) đánh bại Maple, trong số những người khác.

Mặt khác, một ấn phẩm gần đây hơn ( Yao Sun, Dongdai Lin, và Đinh Khang Wang. 2015. Về việc thực hiện các thuật toán cơ bản Gröbner dựa trên chữ ký sử dụng các thói quen đại số tuyến tính từ M4RI. ACM Commun. Comput. Đại số 49, 2 (tháng 8 năm 2015) , 63-64 so sánh việc các tác giả sử dụng thuật toán cơ sở Gröbner với thuật toán của Maple, Singular và Magma, với Magma nhanh hơn hai gói khác theo một mức độ lớn (và ràng buộc với việc thực hiện của các tác giả).

Vì vậy, nó dường như phụ thuộc rất nhiều vào vấn đề (kích thước cũng như cấu trúc) và phiên bản phần mềm nào là gói nhanh nhất. Tuy nhiên, khuyến nghị sử dụng một hệ thống đại số máy tính có mục đích đặc biệt được phát triển tích cực như Singular, Magma hoặc Maple thay vì một phần mềm tính toán biểu tượng cho mục đích chung là một phần mềm hợp lý. Điều này tăng gấp đôi cho một hộp công cụ trong một phần mềm số , có thêm một mức chi phí khác và thường là một số phiên bản đằng sau phần mềm độc lập mà chúng dựa trên (MuPAD, trước đây là Maple, trong trường hợp hộp công cụ của Matlab).

Luôn nhớ rằng kết quả của bất kỳ điểm chuẩn nào sẽ phụ thuộc, ngoài kích thước của bài toán, vào trường cơ sở mà vòng đa thức được xác định (số hữu tỷ hoặc số nguyên modulo một số lũy thừa của số nguyên tố).

Các thư viện FGB là một tích cực phát triển và hiệu suất cao thực hiện của thuật toán F5. Một điểm chuẩn so sánh FGb với Magma có thể được tìm thấy trong:

Faugère, J.-C. (2010). FGb: Một thư viện để tính toán các căn cứ Gröbner (trang 84. doi: 10.1007 / 978-3-642-15582-6_17