Các giải pháp PDE mạnh và yếu

Dạng mạnh của PDE đòi hỏi giải pháp chưa biết thuộc về . Nhưng dạng yếu chỉ yêu cầu giải pháp chưa biết thuộc về . $H^2$ $H^1$

Làm thế nào để bạn hòa giải này?

pde weak-solution

— Mohamed Cheddadi
nguồn

Lớp giải pháp yếu lớn hơn lớp giải pháp mạnh (mọi giải pháp mạnh cũng là giải pháp yếu, nhưng không phải giải pháp yếu nào cũng là giải pháp mạnh).

— Christian Clason

Nhưng chỉ có một giải pháp.

— Mohamed Cheddadi

Có một giải pháp cho mọi chức năng bên phải (thích hợp) hoặc tập hợp các điều kiện biên (thích hợp). Không gian của các RHS hoặc BC thích hợp lớn hơn cho các giải pháp yếu hơn các giải pháp mạnh.

— Bill Barth

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$

\partial Ω

$\partial\Omega$

Ω

$\Omega$

\partial Ω

$\partial\Omega$

C^{\infty}

$C^\infty$

$(1)$ $\Delta$

$(1)$ $x\in\Omega$ $f$ $f(x)$ $u$ $u\in C^2(\Omega)$

$u\in C^2(\Omega)$ $(1)$ $(2)$
$f$ $(1)$ $x\in \Omega$ $f\in L^2(\Omega)$ $L^2$ $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $u$ $(2)$ $\partial \Omega$ $\bar\Omega$

$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $(1)$ . Lưu ý rằng nói chung là cần thiết và không tầm thường để chỉ ra rằng một giải pháp như vậy tồn tại và là duy nhất (đó là trường hợp ví dụ ở đây).
$f$ $(1)$ $H^{-1}(\Omega)$ $H^1_0(\Omega)$ $f\in H^{-1}(\Omega)$ $L^2(\Omega)$ $(1)$
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
$u\in H^1_0(\Omega)$ $(3)$

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

$(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
$f\in L^2(\Omega)$
$H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ hoặc phức tạp hơn, phi tuyến, phương trình; xem, ví dụ: http://www.numdam.org/item/JEDP_2015__A10_0/ .)

— Christian Clason
nguồn

Tôi thấy câu trả lời này thực sự hữu ích. Bạn có thể cung cấp một tài liệu tham khảo cho phần cuối cùng của câu trả lời của bạn? Tôi muốn xem một ví dụ trong đó PDE có một giải pháp mạnh duy nhất nhưng cho phép nhiều giải pháp yếu. Cảm ơn!

— cảm ứng601