Lựa chọn cơ sở trong FEM

Tóm lại, các loại cơ sở khác nhau được sử dụng trong FEM là gì và tại sao cơ sở nút lại rất phổ biến và có lợi thế trong bối cảnh yếu tố hữu hạn?

Mọi người sử dụng tất cả các loại căn cứ trong thực tế. Ví dụ, mọi người sử dụng các cơ sở trực giao trong các phương pháp DG để đảm bảo rằng ma trận khối trong các sơ đồ bước thời gian là đường chéo. Mọi người cũng sử dụng các cơ sở phân cấp khi thực hiện tính thích ứng bởi vì nó làm cho việc xây dựng các ràng buộc ở các mặt mà các mức độ đa thức khác nhau kết hợp với nhau một cách tầm thường. Đối với các phương thức bậc cao hơn, mọi người cũng sử dụng các cấu trúc khác để giảm thiểu số điều kiện của ma trận.$p$

Nói cách khác, có rất nhiều cơ sở đang được sử dụng thực tế. Chúng tôi tình cờ bắt đầu dạy FEM với các cơ sở nút vì nó rất dễ hiểu và vì chúng đủ cho hầu hết các trường hợp.

Các cơ sở Lagrange nút rất hay vì chúng nội suy các hàm tại các nút: Điều này có nghĩa là bạn có thể đọc và vẽ các giải pháp bằng cách chỉ nhìn vào các hệ số u j trong biểu diễn: u h ( x ) = Σ j u j φ j ( x ) Đó đẹp hơn nhiều hơn là phải đánh giá tổng tại tất cả các điểm mà bạn quan tâm biết u h .

$\mathbf{K} \mathbf{u} = \mathbf{f}$

Sự phát triển FEM ban đầu chủ yếu được thúc đẩy bởi các ứng dụng kỹ thuật và trực giác của các lực điểm được áp dụng tại các nút rất quan trọng đối với sự khuếch tán phương pháp.

Có nhiều loại cơ sở khác nhau trong FEM, nhưng hầu hết liên quan đến các chức năng cơ bản được liên kết với các thực thể tôpô, như đỉnh, cạnh, mặt và nội thất phần tử. Điều này cho phép thực thi các loại liên tục khác nhau bằng cách đảm bảo rằng mức độ tự do cho các chức năng đó khớp với các đỉnh / cạnh / mặt được chia sẻ.

Các hàm cơ bản này cũng có thể được xác định theo kiểu phân cấp (xác định các hàm 1D, trộn chúng thành các hàm 2D, trộn các hàm 2D thành 3D, v.v.). Các cơ sở được xác định theo cách này có thể được sử dụng để phơi bày sự thưa thớt hoặc đảm bảo các tính chất toán học khác, mặc dù việc xây dựng của chúng có liên quan nhiều hơn.

Các cơ sở nút là cách đơn giản hơn để xác định các chức năng đó, miễn là một số nút thích hợp được đặt trên các đỉnh, cạnh, mặt và bên trong của một phần tử. Tính liên tục có thể được thực thi bằng cách đảm bảo rằng hai giá trị nút giống hệt nhau tại các đỉnh / cạnh / mặt được chia sẻ. Ngoài ra, nếu các nút như vậy được đặt cùng vị trí tại các điểm cầu phương, thì điều này có thể được khai thác để lắp ráp thời gian và ma trận khối hiệu quả trên các phần tử tứ giác và lục giác (đây là gốc của Phương pháp phần tử quang phổ ).

$L_2$