quan sát ngược chiều so với liên tục trong bài toán nghịch đảo PDE

Tôi làm việc trên một vấn đề nghịch đảo cho bằng tiến sĩ của tôi nghiên cứu, vì đơn giản, chúng tôi sẽ nói là xác định trong$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

từ một số quan sát ; là một hằng số và được biết đến. Điều này thường được coi là một vấn đề tối ưu hóa để cực đoank 0$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

trong đó là một số nhân Lagrange. Đạo hàm hàm của liên quan đến có thể được tính bằng cách giải phương trình liên kếtJ $\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Một số chức năng chính quy được thêm vào vấn đề vì những lý do thông thường.$R[\beta]$

Giả định không được nói ở đây là dữ liệu quan sát được được xác định liên tục trên toàn miền . Tôi nghĩ rằng nó có thể phù hợp hơn cho vấn đề của tôi thay vì sử dụng$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

trong đó là điểm tại đó các phép đo được thực hiện và là độ lệch chuẩn của phép đo thứ . Các phép đo của lĩnh vực này thường là đốm và thiếu khối; Tại sao phải nội suy để có được một lĩnh vực liên tục của sự trung thực đáng ngờ nếu điều đó có thể tránh được?$x_n$$\sigma_n$$n$

Điều này cho tôi tạm dừng vì phương trình liên kết trở thành

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

Trong đó là hàm delta Dirac. Tôi đang giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng các phần tử hữu hạn, vì vậy về nguyên tắc tích hợp hàm hình dạng đối với hàm delta sẽ đánh giá hàm hình dạng tại thời điểm đó. Tuy nhiên, các vấn đề thường xuyên có lẽ không nên loại bỏ khỏi tầm tay. Dự đoán tốt nhất của tôi là hàm mục tiêu nên được xác định theo thuật ngữ gần đúng phần tử hữu hạn cho tất cả các trường, thay vì theo các trường thực và sau đó được phân tách sau.$\delta$

Tôi không thể tìm thấy bất kỳ so sánh nào về việc giả định các phép đo liên tục hoặc theo chiều trong các vấn đề nghịch đảo trong tài liệu, liên quan đến vấn đề cụ thể mà tôi đang làm việc hoặc nói chung. Thông thường các phép đo theo chiều được sử dụng mà không có bất kỳ đề cập nào về các vấn đề thường xuyên thiếu sót, ví dụ ở đây . Có công trình nào được công bố so sánh các giả định của các phép đo liên tục so với điểm không? Tôi có nên quan tâm đến các hàm delta trong trường hợp theo chiều không?

Các phép đo của lĩnh vực này thường là đốm và thiếu khối; Tại sao phải nội suy để có được một lĩnh vực liên tục của sự trung thực đáng ngờ nếu điều đó có thể tránh được?

Bạn hoàn toàn đúng - hầu hết thời gian, nội suy cho một trường liên tục bao trùm toàn bộ miền không phải là một tùy chọn. Hãy suy nghĩ về các vấn đề dự báo thời tiết, trong đó các phép đo (nguồn điểm) chỉ có sẵn tại các vị trí tên miền được chọn. Tôi muốn nói rằng dữ liệu theo quan điểm là chuẩn mực hơn là ngoại lệ khi bạn xem xét các vấn đề nghịch đảo "thực tế".

Dự đoán tốt nhất của tôi là chức năng mục tiêu nên được xác định theo phương pháp xấp xỉ phần tử hữu hạn cho tất cả các trường ( rời rạc-sau đó tối ưu hóa ), thay vì theo các trường thực và sau đó rời rạc sau ( tối ưu hóa sau đó rời rạc ).

Hai cách tiếp cận không tương đương (ngoại trừ các vấn đề rất đơn giản). Có một khối lượng lớn tài liệu so sánh hai cách tiếp cận (mỗi phương pháp đều có ưu điểm và nhược điểm). Tôi sẽ hướng bạn tới chuyên khảo của Max Gunzburger (đặc biệt là phần cuối của chương 2).

Có công trình nào được công bố so sánh các giả định của các phép đo liên tục so với điểm không? Tôi có nên quan tâm đến các hàm delta trong trường hợp theo chiều không?

Bạn có thể biểu diễn chính xác các thuật ngữ nguồn của mình - cụ thể là thuật ngữ nguồn của bạn sẽ được mô hình hóa dưới dạng (xấp xỉ rời rạc với a) Phân phối Dirac [ Arraya et al., 2006 ] hoặc bạn có thể ước tính thuật ngữ nguồn bằng một số hàm thông thường (như đã hoàn thành , ví dụ, trong phương pháp đường biên chìm ). Có một cái nhìn (cho người mới bắt đầu) tại bài báo gần đây của Hosseini et al. (và tài liệu tham khảo trong đó).

Để mở rộng câu trả lời của @ GoHokies: Nếu bạn quan tâm đến các câu hỏi thường xuyên, bạn cũng có thể hỏi "số đo điểm" thực sự là gì. Trong thực hành vật lý, bạn không thể đo bất cứ điều gì tại một "điểm". Thay vào đó, bạn sẽ luôn nhận được một số loại trung bình trên một loại khối không gian thời gian: một nhiệt kế không phải là một điểm mà là một vật thể mở rộng, và cần có thời gian để điều chỉnh nhiệt độ của môi trường xung quanh nó; một thiết bị đo nồng độ cần một cỡ mẫu hữu hạn; Vân vân.

Điều này có nghĩa về mặt toán học là các hàm delta trong chức năng của bạn, thực sự, tính trung bình trên các khu vực đủ nhỏ và / hoặc khoảng thời gian. Do đó, các phía bên phải trong phương trình kép cũng là hữu hạn và không có vấn đề thường xuyên phát sinh.

Tất nhiên, trong thực tế, thông thường bạn sẽ không thể giải quyết các khoảng thời gian hoặc không gian nhỏ mà bạn đo bằng lưới phần tử hữu hạn. Đó là, trên thang đo chiều dài bạn có thể giải quyết, phía bên tay phải trông có vẻ kỳ dị, và do đó, giải pháp cũng vậy. Nhưng, vì bạn đã đưa ra một lỗi phân tách, bạn cũng có thể thường xuyên hóa chức năng đặc trưng của âm lượng mà bạn đo bằng một xấp xỉ rời rạc với cùng trọng số; nếu bạn làm đúng, bạn sẽ đưa ra một lỗi không lớn hơn lỗi rời rạc, với lợi ích là nhận được một hàm bên phải hoàn toàn đẹp cho phương trình kép (rời rạc).