Ví dụ minh họa của phương pháp sai phân hữu hạn bắt chước

Nhiều như tôi cố gắng tìm một lời giải thích ngắn gọn trên internet, tôi dường như không thể nắm bắt được khái niệm về sự khác biệt hữu hạn bắt chước, hoặc làm thế nào nó thậm chí liên quan đến sự khác biệt hữu hạn tiêu chuẩn. Sẽ rất hữu ích khi xem một số ví dụ đơn giản về cách chúng được triển khai cho PDE tuyến tính cổ điển (hyperbolic, elip và parabol).

Không chắc đó có phải là câu trả lời mà bạn muốn không, nhưng khi không có ai trả lời, tôi có thể đề cập đến Hộp công cụ hồ chứa MATLAB của GPL , sử dụng bộ giải mô phỏng cho phương trình áp suất trong mô phỏng hồ chứa. Xem như phương trình này, giảm xuống phương trình kiểm tra elip điển hình, (Poisson) cho tỷ lệ thấm / độ nhớt không đổi, bạn có thể có được một số hiểu ra các bộ giải MRST. MRST hỗ trợ các lưới hoàn toàn không có cấu trúc bằng các phương pháp bắt chước khác nhau, trong đó bắt chước ở đây đề cập đến việc bắt chước sản phẩm bên trong cần thiết để thiết lập các phương trình cân bằng khối lượng. Bạn có thể sẽ không cần bất kỳ sự hiểu biết về mô phỏng hồ chứa để hiểu điều này.

Một ví dụ tốt để bắt đầu được mô tả ở đây . Các ví dụ bao gồm sử dụng chức năng tập lệnh khối của MATLAB, trong đó bạn có thể sử dụng shift-enter để thực hiện các bước và kiểm tra dữ liệu ở mỗi bước.

Bài viết có liên quan có thể được tìm thấy ở đây . Bài báo đầu tiên trải qua công thức của sản phẩm bên trong bắt chước để bạn có thể đọc mã với mã. Nếu bạn chưa có MATLAB hoặc không quen thuộc với ngôn ngữ này, điều này có lẽ không hữu ích lắm - nhưng tôi nghĩ các ví dụ đơn giản cũng tương thích với Octave.

Có một luận án thạc sĩ "So sánh giữa các sơ đồ xấp xỉ thông lượng bắt chước và hai điểm trên lưới PEBI" đi qua một số chi tiết, và phần 7.3 đặc biệt hoạt động thông qua một ví dụ nhỏ bằng tay.

Phương thức toán tử hỗ trợ (SOM) lợi dụng thực tế là hầu hết các phương trình vi phân từng phần được xây dựng theo phương pháp phân kỳ toán tử vi phân , gradient và curl . SOM cung cấp một cách tiếp cận cho sự khác biệt về không gian bằng cách xây dựng các chất tương tự rời rạc của các toán tử vi phân đã nói ở trên. Các toán tử rời rạc thỏa mãn các phiên bản rời rạc của các định danh vi phân và tích phân quan trọng được thỏa mãn bởi các toán tử liên tục. Về bản chất, SOM xây dựng một phiên bản rời rạc của phép tính toán tử vi phân.$\nabla\cdot$$\nabla$$\nabla\times$

Việc xây dựng một phép tính rời rạc tiến hành theo hai bước. Đầu tiên chúng tôi chọn một hình thức riêng biệt cho một trong các toán tử cơ bản, được gọi là toán tử chính . Sau đó, dựa trên một số tập hợp con của các định danh vi phân và tích phân mà chúng tôi chọn duy trì, chúng tôi xây dựng (các) toán tử cơ bản khác, gọi là các toán tử dẫn xuất . Sự lựa chọn của toán tử chính là ứng dụng và phụ thuộc vào sự rời rạc. Theo một nghĩa nào đó, toán tử chính "hỗ trợ" việc xây dựng các toán tử dẫn xuất. Luật bảo tồn, đối xứng giải pháp và điều chỉnh mối quan hệ giữa các toán tử vi phân là các ví dụ về các thuộc tính mà chúng ta muốn các toán tử rời rạc bắt chước.

Ví dụ, một sự rời rạc SOM của phương trình khuếch tán tuyến tính, sự rời rạc bắt chước sẽ bắt chước

1. Định lý Gauss-Green để thực thi luật bảo tồn địa phương
2. Mối quan hệ điều chỉnh tiêu cực giữa các toán tử thông lượng và phân kỳ,$-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Đảm bảo tính đối xứng và tính tích cực của sản phẩm của sự phân kỳ rời rạc và thông lượng rời rạc
4. Không gian rỗng của toán tử thông lượng rời rạc là các hàm hằng.

Chi tiết đầy đủ về sự rời rạc bắt chước của phương trình khuếch tán có sẵn trong 1D hoặc 2D .

Xem luận án của Jerome Bonelle có sẵn trên trang web của anh ấy hoặc trực tiếp tại đây . Tôi thấy chương 2 - 4 của anh ấy khá dễ đọc và giới thiệu hay. Ông cũng nói về hai ví dụ, một PDE elip và phương trình Stokes.