Tối thiểu hóa một hàm bậc hai với các ràng buộc phi tuyến

những gì sẽ là phương pháp tốt (và / hoặc các gói phần mềm) để thử để giải quyết một vấn đề giảm thiểu một hàm bậc hai , st 0 ≤ x i ≤ 1 , và có nhiều hạn chế một số trong đó được phi tuyến tính (và không khả vi), ví dụ: Σ i x i 1 x i > một < b ?$f(x) = \sum_{i=1}^N{(x_i - y_i)^2}$$0 \leq x_i \leq 1$$\sum_i x_i \mathbf{1}_{x_i>a} < b$

Tôi đang nghĩ về . FWIW, Matlab rõ ràng đang sử dụng một "phương pháp thiết lập hoạt động, tương tự như phương pháp của Gill và cộng sự", có hiệu suất không đồng đều.$N \approx 100$

Nếu bạn có các ràng buộc không đặc biệt, không có ích gì khi bạn có một mục tiêu bậc hai lồi. Bạn cần một bộ giải nonsmooth bị ràng buộc.

Xem trang web của tôi
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonsm
để biết phần mềm phù hợp.

Bạn nói trong bình luận rằng bạn không thể làm cho nó hoạt động vì nó không đủ bậc hai. Tôi không thấy bất kỳ lý do cho điều đó. Vấn đề dễ dàng được mã hóa thành một chương trình bậc hai hỗn hợp.

Nếu tôi hiểu định nghĩa vấn đề của bạn, bạn muốn ràng buộc tổng các biến có giá trị lớn hơn ngưỡng. Giới thiệu một biến nhị phân cho biết nếu x lớn hơn a và giới thiệu một biến z khác phải bằng x khi giá trị này giữ và bằng không, và sử dụng tổng của các biến mới.

Sử dụng hộp công cụ MATLAB YALMIP để giao diện CPLEX (hoặc Gurobi hoặc bất kỳ bộ giải MIQP nào khác), vấn đề được giải quyết một cách tầm thường trong các phân số của một giây. Ở đây, một ví dụ ngẫu nhiên, được triển khai bằng cả mô hình có nguồn gốc thủ công và mô hình khai thác các khả năng mô hình hóa cấp cao trong YALMIP

% Create random data
N = 100;
y = rand(N,1);
a = rand(N,1);
b = rand(1);

% Decision variables
x = sdpvar(N,1);
z = sdpvar(N,1);
d = binvar(N,1);

% Define objective
Objective = (x-y)'*(x-y)

% High-level model
Con1 = [0 <= x <= 1,0 <= z <=1];
Con2 = [implies(x-a>=0,d), implies(d,z==x), implies(1-d,z==0)]
Con3 = [sum(z) <= b];

% Solve problem
solvesdp([Con1,Con2,Con3],Objective)

% display solution
[double(x) a double(z)]

% Manually derived model
Con1 = [0 <= x <= 1,0 <= z <=1];
Con2 = [x-a <= d, -(1-d) <= x-z <= 1-d, z <= d];
Con3 = [sum(z) <= b];
Objective = (x-y)'*(x-y)
solvesdp([Con1,Con2,Con3],Objective)
[double(x) a double(z)]