Sự khác biệt giữa ước tính lỗi 'a prori' và 'posteriori' trong phân tích số là gì?

Tôi đã tìm hiểu về Phương pháp phần tử hữu hạn (cũng có một chút về các phương pháp số khác) nhưng tôi không biết định nghĩa chính xác của hai lỗi này và sự khác biệt giữa chúng là gì?

finite-element numerical-analysis error-estimation

— Anh-Thị DINH
nguồn

Ước tính tiên nghiệm (từ tiếng Latin "từ trước đó") chỉ phụ thuộc vào chính xác, nhưng không phải là giải pháp gần đúng được tính toán và do đó có thể (về lý thuyết nếu không có trong thực tế) được đánh giá trước khi tính toán giải pháp. Ngược lại, ước tính posteriori (từ tiếng Latin "từ sau") phụ thuộc vào giải pháp được tính toán nhưng không phải là giải pháp chính xác, vì vậy họ yêu cầu tính toán giải pháp nhưng thực tế có thể được đánh giá trong thực tế.

— Christian Clason

@ChristianClason - làm cho câu trả lời này!

— Wolfgang Bangerth

‖ u - u_{h} ‖ \leq C (h),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

α

$\alpha$

h

$h$ ) hoặc các phương pháp lặp để giải các phương trình hoặc các bài toán tối ưu hóa (với chỉ số lặp - hay đúng hơn là - thay cho ). Điểm của một ước tính như vậy là để giúp trả lời câu hỏi "Nếu tôi muốn vào trong, giả sử, của giải pháp chính xác, tôi phải chọn nhỏ đến mức nào?"

k

$k$

1 / k

$1/k$

h

$h$ $10^{-3}$ $h$

Sự khác biệt giữa ước tính tiên nghiệm và ước tính sau là ở dạng bên phải : $C(h)$

Trong một ước tính tiên nghiệm , phía bên tay phải phụ thuộc vào (thường là rõ ràng) và , nhưng không phụ thuộc vào . Ví dụ: ước tính tiên nghiệm điển hình cho xấp xỉ phần tử hữu hạn của phương trình Poisson sẽ có dạng với hằng số tùy thuộc vào hình dạng của miền và lưới. Về nguyên tắc, phía bên tay phải có thể được đánh giá trước khi tính toán (do đó là tên), vì vậy bạn có thể chọn trước khi giải quyết bất cứ điều gì. Trong thực tế, cả và đều không biết ( $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h^{2} | u |_{H^{2}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ $u_h$ $h$ $c$ $|u|_{H^2}$ $u$ là những gì bạn đang tìm kiếm ở nơi đầu tiên), nhưng đôi khi bạn có thể nhận được ước tính thứ tự hoặc độ lớn cho bằng cách cẩn thận xem qua các bằng chứng và chosử dụng dữ liệu (được biết đến). Việc sử dụng chính là như một ước tính định tính - nó cho bạn biết rằng nếu bạn muốn làm cho lỗi nhỏ hơn theo hệ số bốn, bạn cần giảm một nửa . $c$ $|u|$ $f$ $h$
Trong một ước tính posteriori , phía bên tay phải phụ thuộc vào và , nhưng không phụ thuộc vào . Một ước lượng dựa trên phần dư đơn giản cho phương trình Poisson sẽ là có thể trong lý thuyết được đánh giá sau khi tính toán . Trong thực tế, định mức có vấn đề khi tính toán, do đó, bạn tiếp tục thao tác phía bên phải để có một ràng buộc phần tử khôn ngoan $h$ $u_h$ $u$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h ‖ f + Δ u_{h} ‖_{H^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ $u_h$ $H^{-1}$ $‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c (\sum_{K} h_{K}^{2} ‖ f + Δ u_{h} ‖_{L^{2} (K)} + \sum_{F} h_{K}^{3 / 2} ‖ j (\nabla u_{h}) ‖_{L^{2} (F)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ nơi tổng đầu tiên là qua các yếu tố của tam giác, là kích thước của , tổng thứ hai là qua mọi ranh giới nguyên tố , và biểu thị nhảy của đạo hàm bình thường của trên . Điều này bây giờ hoàn toàn có thể tính toán được sau khi có được , ngoại trừ hằng số . Vì vậy, một lần nữa, việc sử dụng chủ yếu là định tính - nó cho bạn biết các phần tử nào đóng góp lỗi lớn hơn các phần tử khác, vì vậy thay vì giảm đồng đều, bạn chỉ cần chọn một số phần tử có đóng góp lỗi lớn và làm cho các phần tử nhỏ hơn bằng cách chia chúng. Đây là cơ sở của $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ phương pháp phần tử hữu hạn thích ứng .

— Christian Clason
nguồn

Câu trả lời này chính xác là những gì tôi cần, cảm ơn rất nhiều.

— Anh-Thị DINH