Sự hữu ích của các yếu tố với sự ổn định phụ thuộc vào lưới

Sau khi thực hiện một số toán học liên quan đến sự ổn định của các yếu tố trong bài toán 3D Stokes, tôi hơi sốc khi nhận ra rằng không ổn định đối với lưới tứ diện tùy ý. Chính xác hơn, trong trường hợp bạn có một phần tử trong đó tất cả các nút và ba trong bốn khía cạnh nằm trên ranh giới của miền với điều kiện Dirichlet, cuối cùng bạn sẽ nhận được một ma trận số ít. Trên thực tế, điều này khá tầm thường để kết luận từ dạng yếu của hệ thống Stokes. $P_2-P_1$

Tôi đã thử nghiệm mã Stokes thương mại duy nhất mà tôi có quyền truy cập (COMSOL) và nó cho phép tôi tạo ra một lưới như vậy. Khi nhấp vào giải quyết, tôi nhận được 'Lỗi: Ma trận số ít' như mong đợi. (Tôi có ấn tượng rằng COMSOL sử dụng cho mô đun dòng chảy leo của nó.) $P_2-P_1$

Để kiểm tra thêm rằng sự cố không liên quan đến các cấu hình khác, tôi đã thử lưới sau đây và mọi thứ hoạt động như mong đợi.

Câu hỏi: Loại ràng buộc này có được tính đến trong các máy phát lưới (thích ứng hay không thích ứng) không? Tôi thấy từ các tài liệu nghiên cứu khác nhau rằng yếu tố này dường như khá phổ biến. Là những loại không ổn định ranh giới nói chung được coi là không đáng kể khi chọn một phương pháp để sử dụng? Quan trọng hơn, điều gì thực sự có nghĩa là có một phần tử hữu hạn ổn định , nghĩa là, sự không ổn định phụ thuộc vào lưới nào quá nhiều để chúng tôi kết luận rằng phương pháp này là xấu?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— quỳ
nguồn

Câu hỏi thú vị! Theo như tôi thấy, các yếu tố này thường là kết quả của việc tạo lưới tứ diện có cấu trúc trên các hình khối và như vậy và chỉ đóng một vai trò nhỏ trong các ứng dụng thực tế nơi bạn có các thuật toán gật đầu không cấu trúc. Tôi đã thử một chút trước đây và không thể tạo ra một lưới như vậy với một bộ tạo lưới tạo ra các lưới hoàn toàn không có cấu trúc. Tôi nghi ngờ họ sử dụng một cơ chế để tránh các yếu tố quá hạn chế như vậy. Tôi không có quyền truy cập vào COMSOL nhưng tôi đoán rằng đối với hầu hết người giải quyết thì phần tử này không gây ra vấn đề gì đáng kể.

— Christian Waluga

Tôi tự hỏi nếu điều này cũng là một vấn đề với yếu tố MINI?

— Daniel Shapero

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

$p$ $p$

Lưới máy phát điện thường có một tùy chọn để xử lý việc này, ví dụ như 2D lưới máy phát điện bamgcủa freefem++có một -splitpbedgetùy chọn có thêm một nút ở giữa bất kỳ cạnh có hai đầu trên ranh giới. Theo bamgtài liệu, việc tạo lưới không cấu trúc có thể trả về các hình tam giác như vậy.

— Joce
nguồn

Bạn có chắc chắn rằng đây là trường hợp với ví dụ Taylor-Hood trong 2D Stokes? Trực giác của tôi nói với tôi rằng DOF liên quan đến cạnh sẽ cứu vãn tình hình ở đó. Trong 3D Taylor-Hood, không có DOF liên quan đến khía cạnh và do đó sự mất ổn định xảy ra.

— KNL

Bạn nói đúng, nó có thể là trường hợp. Tôi nghĩ rằng bằng chứng Verfuhrt về điều kiện inf-sup cho Taylor-Hood đủ mang tính xây dựng để kiểm tra điều này, nhưng không có thời gian nào cả.

— Joce