Phân tích độ ổn định của Von Neumann cho chúng ta biết gì về phương trình sai phân hữu hạn phi tuyến tính?

9

Tôi đang đọc một bài báo [1] trong đó họ giải phương trình phi tuyến tính sau bằng các phương pháp sai phân hữu hạn. Họ cũng phân tích tính ổn định của các sơ đồ sử dụng phân tích độ ổn định của Von Neumann. Tuy nhiên, như các tác giả nhận ra, điều này chỉ áp dụng cho PDE tuyến tính. Vì vậy, các tác giả giải quyết vấn đề này bằng cách "đóng băng" thuật ngữ phi tuyến tính, tức là họ thay thế thuật ngữ bằng , trong đó được "coi là đại diện cho các giá trị không đổi cục bộ của

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$

u u_{x}

$uu_x$

U u_{x}

$Uu_x$

U

$U$

."

u

$u$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là hai lần:

1: làm thế nào để giải thích phương pháp này và tại sao nó (không) hoạt động?

2: chúng ta cũng có thể thay thế thuật ngữ bằng thuật ngữ , trong đó được "coi là đại diện cho các giá trị không đổi cục bộ của "? $uu_x$ $uU_x$ $U_x$ $u_x$

Người giới thiệu

Eilbeck, JC và GR McGuire. "Nghiên cứu số phương trình sóng dài chính quy I: phương pháp số." Tạp chí Vật lý tính toán 19.1 (1975): 43-57.

— thợ săn
nguồn

1

Bạn đã nhầm phương trình. Phương trình trong bài báo là phương trình RLW.

— Ömer

3

Các câu hỏi liên quan, không có câu trả lời đầy đủ: scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 . Tôi nghĩ, về mặt heurist, nó sẽ hoạt động vì bạn quan tâm đến sự ổn định của các chế độ tần số rất cao (tại đó xảy ra lỗi, bước sóng theo thứ tự khoảng cách lưới), trong khi đó, giải pháp thay vào đó sẽ thay đổi với tần số thấp hơn nhiều, vì vậy có thể đóng băng các hệ số và nghiên cứu tính ổn định của các hệ số PDE đông lạnh.

— Kirill

2

Tôi đã đưa ra câu trả lời cho một số câu hỏi được liên kết bởi Kirill. Thật không may, tôi không biết bất kỳ kết quả nào cho phương trình RLW, nhưng có lẽ sự ổn định có thể được chứng minh miễn là giải pháp đủ trơn tru.

— David Ketcheson

1

Những gì bạn đang nói được gọi là tuyến tính hóa. Đây là một kỹ thuật phổ biến được sử dụng trong phân tích PDE phi tuyến tính. Những gì được thực hiện là để đúc các phương trình trong định dạng,

$u_t+Au=0$

Ở đây A là một ma trận kết quả từ sự tuyến tính hóa của phương trình.

Bây giờ cho câu hỏi của bạn,

Như bạn đang nghĩ, nó hoạt động ở một mức độ nào đó, nhưng không ở một mức độ nào khác. Tiện ích là sự ổn định có thể được chứng minh cho các hệ thống tuyến tính nhưng không dễ dàng cho các hệ thống phi tuyến tính. Vì vậy, kết quả tuyến tính được mở rộng cho các hệ thống phi tuyến tính. Thông thường, các phương pháp khác nhau được áp dụng cho các trường hợp cụ thể. Ví dụ,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

đó là hình thức bảo tồn. Vì thế,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

khi được biểu diễn theo nghĩa khối lượng hữu hạn sẽ đưa ra các giới hạn đối với sự tiến hóa của u.

Các tiện ích của việc làm thay thế là gì. Bạn sẽ loại bỏ phương trình từ một dạng phương trình sóng. Điều đó có nghĩa là các giải pháp sẽ không hoạt động như một phương trình sóng. Vì vậy, trong phân tích độ ổn định, các giải pháp thử nghiệm cũng phải hoàn toàn khác biệt và phi vật lý.

— Vikram
nguồn

2

Để giải thích về đối số tuyến tính hóa, trong uu_x bạn muốn giả sử u là hằng số cục bộ, không phải u_x, vì hai lý do: a) u thay đổi chậm hơn đạo hàm của nó và b) trong trường hợp cụ thể này, nếu bạn giả sử u_x là hằng số cục bộ , theo định nghĩa, bạn cũng cho rằng u là tuyến tính cục bộ, có nghĩa là các đạo hàm không gian cao hơn bằng 0 và điều này không chỉ gây ra lỗi xấp xỉ bổ sung mà còn có thể ám chỉ bạn có thể ném em bé ra khỏi nước tắm, tùy thuộc vào phương trình của bạn.

— Domingo
nguồn