Khi nào thì thuận lợi để lặp lại các tích phân số?

Nếu có tích phân hai chiều dạng thông thường người ta sẽ đánh giá điều này bằng thư viện tích hợp đa chiều trên toàn bộ miền, . $(n+1)$

\int_{[0, 1]^{n + 1}} f (x, y) d^{n} x d y,

$\int_{[0,1]^{n+1}} f(x, y)\,\mathrm{d}^n x \,\mathrm{d}y,$

[0, 1]^{n + 1}

$[0,1]^{n+1}$

Nhưng có một số điều kiện trong đó có thể có ý nghĩa để thực hiện tích phân trên một cách riêng biệt, sử dụng một phương trình một chiều, sau đó sử dụng thư viện tích hợp đa chiều để đánh giá tích phân trên các tọa độ khác ? $y$ $n$

\int_{[0, 1]^{n}} g (x) d^{n} x, g (x) = \int_{0}^{1} f (x, y) d y .

$\int_{[0,1]^n}g(x)\,\mathrm{d}^nx, \qquad g(x) = \int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}y.$

Điều này có thể có ý nghĩa, ví dụ, nếu đặc biệt trơn tru như là một hàm của , nhưng không phải là . Nhưng chính xác thì nó phải như thế nào trong trường hợp này? Tôi đoán là nó gần như không bao giờ có ý nghĩa bởi vì có quá nhiều điểm đánh giá cầu phương 1 chiều sẽ bị "lãng phí", nhưng tôi không chắc điều này luôn được áp dụng. Điều này có được đảm bảo bởi thiết kế của các phương pháp tích hợp chiều cao không? $f$ $y$ $x$

Trong trường hợp của riêng tôi, là hộp đen, nhưng mịn màng trong và có một số lần nhấp và nhảy không xác định ở tại các vị trí không xác định và khá cao ( ), do đó tích phân trên phải được thực hiện với một cái gì đó đặc biệt cho nhiều chiều. Tích phân trên có thể được thực hiện với một cái gì đó thường xuyên như thế nào . Trong ví dụ này, hàm này đủ trơn tru trong mà nó dường như hoạt động, nhưng tích hợp lặp lại kết thúc chậm hơn 30 lần, vì vậy tôi tự hỏi liệu cách tiếp cận có sai không. $f$ $y$ $x$ $n$ $n\geq 4$ $x$ $y$ quadgk $y$

Nếu bạn biết nơi này đã được thảo luận trong tài liệu, điều đó cũng sẽ hữu ích.

Thí dụ. (tại sao điều này không tầm thường) Hãy xem xét một tích phân "dễ dàng", rất trơn tru, không giống như những gì tôi thực sự quan tâm: Chúng ta có thể thực hiện Monte Carlo -dimensional trên integrand, hoặc ngây thơ Monte Carlo trên integrand được tích hợp một lần wrt , đó là (trong đó ).

\int_{[0, 1]^{n}} e^{- x_{1} x_{2} \dots x_{n}} d^{n} x = F (\begin{matrix} {1, \dots, 1}_{n} \\ {2, \dots, 2}_{n} \end{matrix} | - 1) .

$\int_{[0,1]^n} e^{-x_1 x_2\cdots x_n}\,\mathrm{d}^n x = \mathrm{F}\left(\begin{array}{}\{1,\ldots,1\}_n\\\{2,\ldots,2\}_n\end{array}\middle| -1\right).$

n

$n$

(n - 1)

$(n-1)$

x_{1}

$x_1$

g (x_{2 : n}) = - (e^{- a} - 1) / a

$g(x_{2:n}) = -(e^{-a}-1)/a$

a = x_{2} \dots x_{n}

$a=x_2\cdots x_n$

Với một số đại số, tôi đã tính toán rằng phương sai của ước tính MC -point chiều cao là , và nó là cho tích phân chiều của , để giảm phương sai theo hệ số . $(n=5)$ $N$ $0.00244N^{-1}$ $0.00167N^{-1}$ $4$ $g$ $1.5$

Đây là một ít ỏi giảm sai: nó sẽ được phủ nhận bằng cách sử dụng lần so với nhiều mẫu điểm, và điều này được bù đắp bởi một thực tế là tích phân bên trong có thể có nhiều hơn lần chậm hơn để đánh giá. Nếu hàm ở trên xảy ra chậm hơn lần, điều này thể hiện sự mất chính xác ròng , giữ cho thời gian tính toán cố định. $1.5$ $1.5$ $g = (1-e^{-a})/a$ $1.5$

Có lẽ cùng một loại đánh đổi được áp dụng khi xem xét một quy tắc xác định để tích hợp trên . Phương pháp Monte Carlo làm cho phân tích này dễ dàng hơn nhiều so với trường hợp chung, bởi vì tích hợp trên hoạt động giống như một kỹ thuật giảm phương sai rất đơn giản. Nhưng tôi thực sự quan tâm nhiều hơn đến các phương pháp xác định mà tôi không thể phân tích một cách dễ dàng. $x$ $y$

— Kirill
nguồn

Bạn chỉ có thể sử dụng các quy tắc bậc hai khác nhau trong mỗi chiều? Vì trơn tru trong , nên bạn có thể sử dụng phương trình bậc hai ở đó và phương trình bậc cao hơn dọc theo các kích thước kém mịn hơn. Các điểm và trọng số cầu phương được xây dựng bằng các sản phẩm tenxơ của quy tắc 1-D. Điều đó sẽ làm giảm đáng kể tổng số đánh giá chức năng.

f

$f$

y

$y$

— Tyler Olsen

@TylerOlsen Không, nhưng đó là câu hỏi ... (Ngoài ra, chắc chắn các quy tắc bậc cao cho kích thước trơn, không phải theo cách khác?) Nếu chức năng này đủ khó để tôi xử lý nhiều kích thước không trơn tru bằng QMC hoặc lưới thưa thớt , hoặc các sản phẩm tenor của các quy tắc với sàng lọc thích ứng, v.v., không phải là độ chính xác cao của việc tích hợp trên bị lãng phí bởi các lỗi trong các kích thước khác? Vậy tại sao không sử dụng quy tắc hai chiều mà không lãng phí các đánh giá? Nhưng tôi không chắc nguyên tắc chung đúng đắn ở đây là gì, vì vậy tôi hỏi liệu có ai biết điều gì không.

y

$y$

(n + 1)

$(n+1)$

— Kirill

@TylerOlsen Nói cách khác, bằng cách nào đó phụ thuộc vào việc tích hợp chức năng trên dễ dàng như thế nào (rất dễ sử dụng -d rồi -d, nhưng sử dụng rất khó khăn -d). Nhưng những gì một hướng dẫn tốt, hoặc một ngưỡng?

y

$y$

1

$1$

n

$n$

(n + 1)

$(n+1)$

— Kirill

À, xin lỗi về điều đó. Tôi lật nó trong đầu. Tôi không thể nói rằng tôi biết một quy tắc tốt ở đây, vì vậy người khác sẽ phải thực hiện quy tắc này.

— Tyler Olsen

Làm rõ: Câu trả lời của tôi được viết riêng cho các thói quen tích hợp thích ứng với kiểm soát lỗi xác định như thế này . Nó trở thành mô hình cho các thói quen tích hợp dựa trên lưới thưa và Monte Carlo, mà việc kiểm soát lỗi không được thực hiện theo cách được mô tả dưới đây.

Một chi phí đáng kể của các thói quen tích hợp dựa trên sản phẩm hộp đen tự động là kiểm soát lỗi, từ hai khía cạnh

Đánh giá chức năng lãng phí. Tất cả tích hợp thích ứng hoạt động bằng cách ước tính tích phân và lỗi bằng cách sử dụng quy tắc bậc thấp hoặc phân vùng thô hơn và lặp lại điều này với các quy tắc bậc cao hơn hoặc phân vùng mịn hơn cho đến khi các yêu cầu lỗi được thỏa mãn. Các quy tắc tích hợp lồng nhau cho phép một số công việc được thực hiện trong các bước trước được tái chế, nhưng thường không phải là tất cả.
Trong nỗ lực bảo tồn các đánh giá chức năng, các quy tắc lồng nhau cao như Gauss-Kronrod hoặc Newton-Cotes thường được sử dụng trong các mã tích hợp thích ứng. Các quy tắc bậc hai lồng nhau là các quy tắc bậc hai không tối ưu, trong đó chúng có độ chính xác thấp hơn đáng kể so với các quy tắc tối ưu (ví dụ: Gauss-Legendre và Clenshaw Curtis) cho một lớp hàm cụ thể theo thứ tự bậc hai cố định. Nói cách khác, các quy tắc lồng nhau làm cho việc sử dụng các đánh giá chức năng kém hiệu quả hơn.

Sự thiếu hiệu quả liên quan đến kiểm soát lỗi trong chiều có thể được loại bỏ hoàn toàn bằng cách sử dụng phương pháp xử lý bán phân tích so . Giả sử trơn tru (tức là không chỉ là mịn màng) trong . Chúng tôi có quyền chọn quy tắc bậc hai tối ưu và rút ra một ràng buộc trước theo thứ tự bậc hai để đảm bảo sử dụng, giả sử, hằng số Lipschitz của trên cho tất cả . Trong một điều trị bán phân tích kiểm soát lỗi biến, chúng ta thậm chí có thể để thứ tự bậc hai $y$ $y$ $f(x,y)$ $y$ $r$

| \sum_{k = 1}^{r} w_{k} f (x, y_{k}) - \int_{[0, 1]} f (x, y) d y | \leq ϵ for all x \in [0, 1]^{n},

$\left|\sum_{k=1}^r w_k f(x,y_k) - \int_{[0,1]}f(x,y)\,\mathrm{d}y\right| \le \epsilon\qquad \text{for all }x\in[0,1]^n,$

f (x, y)

$f(x,y)$

y

$y$

x

$x$

r

$r$ thay đổi như một hàm liên quan đến và để tăng cường hiệu quả hơn nữa.

x

$x$

ϵ

$\epsilon$

Thay thế các bước số bằng các bước tối ưu, bán phân tích dẫn đến hiệu quả nâng cao cho thói quen tích hợp bên ngoài. Xem xét rằng nằm ở trung tâm của tích phân chiều, bất kỳ lợi ích nhỏ nào được thực hiện khi đánh giá sẽ được phóng to rất nhiều trong toàn bộ tích hợp. $g(x)$ $n$ $g(x)$

Trong trường hợp chỉ mượt mà, các quy tắc bậc hai tối ưu có thể được phát triển miễn là các ranh giới của các phân đoạn piecewise được biết đến, do đó các đối số tương tự được giữ. Ngay cả khi các ranh giới không được biết đến, theo kinh nghiệm, Clenshaw-Curtis thường có thể xử lý các chức năng trơn tru rất tốt. $f(x,y)$

Để đưa ra một ví dụ ứng dụng, vấn đề chính xác này đã nảy sinh cho tôi trong việc đánh giá các tích phân số đơn lẻ theo khối lượng trong bài viết này , và cách xử lý của tôi tương tự như đề xuất ở trên. Theo nguyên tắc thông thường, luôn luôn nên loại bỏ càng nhiều chiều càng tốt bằng cách sử dụng các đối số phân tích trước khi đưa ra vấn đề thông qua thói quen tích hợp hộp đen.

— Richard Zhang
nguồn

Cảm ơn bạn, nhưng tôi không nghĩ rằng điều này trả lời câu hỏi. Tôi đã thêm những gì tôi nghĩ là một ví dụ cho câu hỏi. Thật vậy, tôi nghĩ rằng bạn gần như đang đặt ra câu hỏi khi bạn nói những điều như Tất cả những điều này mang lại hiệu quả nâng cao cho thói quen tích hợp bên ngoài - hoàn toàn không rõ ràng rằng điều này đạt được bất cứ điều gì vì lý do tính toán tích phân trên là không miễn phí và mất một thời gian Vì vậy, phải có một số ngưỡng vượt quá mà nó chỉ đơn giản là không có giá trị, và câu hỏi là ngưỡng đó ở đâu.

y

$y$

— Kirill

Đối số của tôi chỉ đơn giản là nếu bạn giả sử một phương pháp thích ứng với kiểm soát lỗi xác định, thì việc đánh giá một vài kích thước dạng đóng (hoặc dạng bán kín) sẽ loại bỏ các bước không thể tránh khỏi mà sẽ được thực hiện bằng số. Nhưng ví dụ (xuất sắc) của bạn là một trong đó phương pháp thích ứng xác định sẽ không bao giờ được sử dụng ở nơi đầu tiên.

— Richard Zhang

Giả sử rằng bạn đã sử dụng một phương pháp thích ứng xác định tiêu chuẩn, ví dụ ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/Cubature , thì tôi sẽ rất ngạc nhiên nếu bạn không tăng tốc toàn bộ yếu tố bằng cách cắt bỏ một trong các kích thước bán phân tích.

— Richard Zhang

Sử dụng chính xác cách bạn đề xuất (đó là một gợi ý hoàn toàn hợp lý) là cách tôi có được con số "chậm hơn 30 lần" trong câu hỏi của tôi ngay từ đầu, vì vậy tôi đã rất ngạc nhiên (do đó là câu hỏi). Tôi chỉ có nghĩa là ví dụ Monte Carlo như một cái gì đó dễ phân tích, tôi thực sự quan tâm nhiều hơn đến các phương pháp xác định.

— Kirill

Khi bạn nói "những bước không thể tránh khỏi", tôi không nghĩ đó thực sự là cách đúng đắn để nhìn nhận vấn đề này. Khi bạn tích hợp một biến, bạn sẽ chồng chéo rất nhiều vào một biến đó, trong số tất cả các biến , đó là điều mà một quy tắc sản phẩm hai chiều sẽ không bao giờ thực hiện vì nó rất kém hiệu quả. Vì vậy, hoàn toàn không rõ ràng rằng việc tích hợp một biến luôn là điều hợp lý để làm.

n + 1

$n+1$

(n + 1)

$(n+1)$

— Kirill