Làm thế nào tôi có thể rút ra một ràng buộc trên các dao động giả trong giải pháp số của phương trình tiến 1D?

Giả sử tôi có vấn đề tiến bộ 1D định kỳ sau:

trongΩ=[0,1]u(0,t)=u(1,t)u(x,0)=g(x) nơig(x)có một gián đoạn nhảy tạix*∈(0,1). $\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
$g(x)$$x^*\in (0,1)$

Theo hiểu biết của tôi, đối với các sơ đồ sai phân hữu hạn tuyến tính cao hơn bậc một, các dao động giả xảy ra gần sự gián đoạn khi nó được tiến hành theo thời gian, dẫn đến sự biến dạng của giải pháp từ hình dạng sóng dự kiến ​​của nó. Theo giải thích của wikipedia , dường như những dao động này thường xảy ra khi một hàm không liên tục được tính gần đúng với một chuỗi phạm vi hữu hạn.

Vì một số lý do, tôi dường như không thể nắm bắt được một loạt phạm vi hữu hạn có thể được quan sát như thế nào trong giải pháp của PDE này. Cụ thể, làm thế nào tôi có thể ước tính một ràng buộc về "bắn quá mức" một cách phân tích?

Phương pháp gió ngược thứ tự đầu tiên là đơn điệu; nó không giới thiệu dao động giả. Nhưng nó chỉ là thứ tự chính xác đầu tiên, dẫn đến sự khuếch tán số lượng nhiều đến mức không thể sử dụng cho nhiều mục đích. Định lý của Godunov nói rằng sự phân biệt không gian tuyến tính cao hơn bậc một không thể là đơn điệu. Để kiểm soát chặt chẽ các dao động, chúng tôi sử dụng các sơ đồ Tổng biến đổi (TVD) . Các phương pháp TVD thường được giới hạn ở độ chính xác thứ hai. Để có thứ tự cao hơn, chúng tôi phải nới lỏng yêu cầu của chúng tôi, dẫn đến các phương pháp Tổng biến đổi giới hạn (TVB) như (Không trọng số) không dao động ((W) ENO), hoặc chúng tôi phải nới lỏng định nghĩa của TVD thành "bảo toàn nguyên tắc tối đa" hoặc tương tự, trong đó cực trị ban đầu là về một giải pháp tái tạo ban đầu, dẫn đếnđề án hạn chế đặc biệt .

Sự khác biệt hóa hữu hạn tuyến tính của một vấn đề 1D với các ranh giới định kỳ dẫn đến sự rời rạc của dạng

$$U^{n+1} = LU^n$$

$L$

$$v_j = \exp(ijh\xi)$$ $h$$\xi$là số sóng, nằm trong khoảng từ 0 đến số sóng lớn nhất có thể biểu thị trên lưới). Các hàm riêng này tạo thành một cơ sở cho tất cả các hàm có thể được biểu diễn trên lưới. Nếu bạn biểu thị giải pháp theo các chế độ Fourier rời rạc này, thì phương thức số được chéo hóa, tức là mỗi thành phần Fourier được nhân với một yếu tố vô hướng (nói chung là phức tạp) ở mỗi bước. Yếu tố vô hướng thường được gọi là hệ số khuếch đại, và những gì tôi vừa mô tả được gọi là phân tích von Neumann . Nó tương tự như phân tích Fourier của các PDE tuyến tính, trong đó người ta sử dụng cơ sở Fourier, để "chéo hóa" các toán tử vi phân tuyến tính.

Bạn có thể tìm thấy những lời giải thích hay, ví dụ, trong văn bản của Strikwerda hoặc LeVeque .

Không phải tất cả các dao động giả là hiện tượng Gibbs. Chúng trông giống nhau, nhưng có dao động Gibbs cho tất cả các xấp xỉ Fourier hữu hạn của các hàm không liên tục (chúng chỉ nhỏ hơn khi bạn thêm nhiều thuật ngữ). Trong khi đó, có các biểu diễn không dao động của các hàm không liên tục xuất phát từ giải pháp xấp xỉ sai phân hữu hạn đối với các PDE không yêu cầu chuỗi vô hạn.

$\inf$$\sup$

Đối với câu hỏi cuối cùng của bạn về mối liên hệ giữa chuỗi Fourier hữu hạn và xấp xỉ phần tử hữu hạn: Nói chung, nếu bạn cố gắng chiếu một hàm với một bước nhảy lên một không gian hữu hạn có các hàm cơ bản là liên tục, bạn sẽ gặp hiện tượng Gibbs. Điều này đúng nếu cơ sở là một chuỗi Fourier hữu hạn (trong đó các hàm cơ bản là sin và cosin) hoặc nếu cơ sở là các hàm mũ phần tử hữu hạn thông thường - đó là một thuộc tính của phép chiếu cộng với tính không phù hợp của các hàm cơ sở.

Một cách tiếp cận là thông qua phương trình tương đương, đó là phương trình vi phân mà phương thức rời rạc của bạn đưa ra phép gần đúng nhất. Đây không bao giờ là phương trình vi phân mà bạn dự định giải quyết. Sau đó, bạn nhìn vào giải pháp tiệm cận của phương trình tương đương, cho hàm bước là dữ liệu ban đầu. Nhìn vào Bouche, D., Bonnaud, G. và Ramos, D., 2003. So sánh các sơ đồ số để giải phương trình thăng tiến. Các chữ cái toán ứng dụng, 16 (2), tr.147-154.