ODE vs DAE vs ADE?

Tôi hoàn toàn bối rối giữa ODE mà tôi quen thuộc và phương trình đại số vi phân (DAE) và phương trình vi phân đại số (ADE). Chúng giống nhau nhưng chỉ là tên khác nhau hoặc sự khác biệt chính giữa chúng (bản chất và phương pháp giải pháp). trân trọng cảm ơn

ode numerical-modelling dae

— MBM
nguồn

Đối với các phương pháp giải pháp: DAE khá khó đối phó hơn một chút. Có một cái nhìn về công việc của Hindmarsh và Petzold, ví dụ. Các phương pháp thông thường như RK sẽ không hoạt động trên chúng mà không có nhiều sự trợ giúp.

— JM

Đừng quên PDE, DDE, SDE ...

— user541686

Câu trả lời:

Ít nhất một điểm khác biệt là trong một hệ thống ODE, tất cả các phương trình là vi phân, ví dụ: trong khi định nghĩa của Các DAE mà tôi quen thuộc bao gồm một số phương trình không phân biệt (nghĩa là đại số) trong tập hợp, ví dụ: trong đó không trival, và giải pháp của nó không thể dễ dàng được thay thế vào phương trình đầu tiên để đơn giản hóa. Chúng trở nên phức tạp hơn khi có nhiều thuật ngữ đại số hơn.

\dot{x} = f (x, y) \dot{y} = g (x, y)

$\dot{x}=f(x,y)\\ \dot{y}=g(x,y)$

\dot{x} = h (x, y) y = l (x, y)

$\dot{x}=h(x,y)\\ y=l(x,y)$

l

$l$

DAE có nhiều thách thức hơn về mặt số lượng; những thách thức mà họ đòi hỏi tương tự nhưng đôi khi nghiêm trọng hơn những thách thức. Một lời giải thích rất kỹ lưỡng về DAEs và cách giải quyết chúng bằng số có thể được tìm thấy trong tập II của văn bản bởi Hairer và Wanner .

— Bill Barth
nguồn

Prolly sẽ biểu thị nó dưới dạng trong tập phương trình thứ hai.

l (x, y) = 0

$l(x,y)=0$

— JM

Tôi cũng không quen với DAE vs ADE, nhưng Wikipedia phân loại chúng là khác nhau mặc dù tên. Các trang trên ADE cũng đi ra khỏi con đường của mình để nói rằng họ là khác nhau.

— tpg2114

@JM, về lâu dài, tôi đồng ý, nhưng tôi đã cố gắng phù hợp với chủ đề của ODE. Điều đó đang được nói, tất cả những điều này có thể được viết dưới dạng "bằng không" nếu chúng ta đưa các đạo hàm vào các đối số hàm.

— Bill Barth

-1 Các công thức được viết ở đây không cho phép DAE nói chung. Chúng ta có thể nói rằng thực sự là không giống với ; sau này được xa hơn bị hạn chế. OTOH, nếu chúng ta giải thích chúng giống nhau, thì phương trình là sai, bởi vì nó hoàn toàn không cho phép một thuật ngữ phái sinh - đó chỉ là một thuật ngữ phái sinh phương trình đại số. Công thức chính xác cho DAE là những gì bạn thấy trong câu trả lời của @ adhalanay, cho phép các dẫn xuất theo thuật ngữ đại số.

\dot{x} = f (x, y)

$\dot{x} = f(x,y)$

\dot{x} (t) = (f (x, y)) (t)

$\dot{x}(t) = (f(x, y))(t)$

\dot{x} (t) = f (x (t), y (t))

$\dot{x}(t) = f(x(t), y(t))$

y (t) = l (x (t), y (t))

$y(t) = l(x(t), y(t))$

— dùng541686

@Mehrdad, tốt, bạn luôn tự do giải thích câu trả lời của riêng bạn. Tôi không có ý định đưa ra một luận văn về vấn đề này.

— Bill Barth

Phương trình vi phân đại số (DAE) là phương trình có dạng , với hàm chưa biết là . Vì vậy, theo một cách nào đó là sự khái quát hóa của ODE. Một nơi tốt đẹp để bắt đầu là đây . Mặt khác, một phương trình vi phân đại số là một điều hoàn toàn khác. Trang wikipedia đưa ra một cái nhìn tổng quan, nhưng về cơ bản là một phương trình liên quan đến các toán tử vi phân trên đại số vi phân. $F(t,x,x')=0$ $x(t)$

— quảng cáo
nguồn

Đây là một bản sao giống hệt của một câu trả lời trên MO :

Một cách trực quan để hiểu DAE là diễn giải nó như một hệ thống động lực có thể được điều khiển bởi một số tín hiệu đầu vào, mà tín hiệu đầu ra phải đáp ứng một số ràng buộc (phương trình). Đối với một hệ thống đa tần số điển hình, các tín hiệu đầu vào là các lực vuông góc với các ràng buộc, các tín hiệu đầu ra là vị trí của các thân và các ràng buộc (phương trình) trên các tín hiệu đầu ra là khoảng cách cố định giữa các thân.

Các tín hiệu đầu vào bây giờ phải điều khiển hệ thống động theo cách sao cho các tín hiệu đầu ra luôn thỏa mãn các ràng buộc. Điều này rất khó đối với một hệ thống đa khung, bởi vì các lực chỉ kiểm soát tốc độ thay đổi của vận tốc và vận tốc chỉ kiểm soát tốc độ thay đổi của các vị trí, trong khi chỉ các vị trí phải thỏa mãn các ràng buộc.

Về mặt lý thuyết, việc giảm chỉ số rất dễ dàng, bởi vì nếu chúng ta giả sử rằng các vị trí thỏa mãn các ràng buộc tại thời điểm hiện tại, thì chúng ta chỉ có thể thay thế các ràng buộc trên các vị trí bằng các ràng buộc về vận tốc đảm bảo rằng các vị trí sẽ tiếp tục thỏa mãn các ràng buộc của chúng. Tuy nhiên, trên thực tế, chúng tôi không muốn loại bỏ các ràng buộc đối với các vị trí sau khi chúng tôi xác định các ràng buộc về vận tốc, nhưng chúng tôi phải loại bỏ một số phương trình (vi phân) ban đầu, nếu chúng tôi không muốn kết thúc với một hệ thống quá hạn.

Xác định các ràng buộc về vận tốc từ các ràng buộc trên các vị trí có thể là tẻ nhạt trong thực tế, nhưng ít nhất nó là đơn giản (và chính tắc) một khi bạn hiểu nguyên tắc. Ràng buộc ngụ ý . Đây chưa phải là một ràng buộc (phương trình), bởi vì không phải là một biến mà chỉ là đạo hàm của một biến. Nhưng các phương trình vi phân khác cho phép chúng ta biểu thị dưới dạng hàm của các biến, trong trường hợp của chúng tôi cho , vì vậy chúng tôi có được các ràng buộc phương trình $c(y,t)=0$ $\frac{d}{dt}c(y(t),t)=0=\frac{\partial c}{\partial y}*\frac{d}{dt}y+\frac{\partial c}{\partial y}$ $\frac{d}{dt}y$ $\frac{d}{dt}y$ $\frac{d}{dt}y=v$ $v=\dot{y}$ $0=\frac{\partial c}{\partial y}*v+\frac{\partial c}{\partial y}$ (hay đúng hơn là nếu bạn quản lý để không bị nhầm lẫn bằng cách sử dụng làm biến thay vì đạo hàm của biến). $0=\frac{\partial c}{\partial y}*\dot{y}+\frac{\partial c}{\partial y}$ $\dot{y}$

Vứt bỏ một số phương trình ban đầu (vi phân) là ít thẳng về phía trước (hoặc chính tắc). Nếu chúng ta có thể sử dụng phương trình ràng buộc như để xác định là hàm của các biến khác (ví dụ: trong này trường hợp), sau đó chúng ta có thể loại bỏ phương trình vi phân cho , tức là phương trình vi phân có dạng . Nhưng chúng tôi cũng có thể đã quyết định vứt bỏ phương trình vi phân cho , vì ràng buộc cũng cho phép xác định $y_1^2+y_2^2=1$ $y_1$ $y_1(t)=\sqrt{1-(y_2(t))^2}$ $y_1$ $\frac{d}{dt}y_1=\dots$ $y_2$ $y_2$ như một hàm của các biến khác. Nhưng cho dù việc vứt bỏ thứ gì đó dễ dàng đến mức nào, điều này có thể dễ dàng phá hủy một số tính đối xứng của hệ thống mà chúng ta không muốn phá hủy, hoặc chúng ta có thể buộc phải chuyển đổi phương trình mà chúng ta vứt đi trong quá trình mô phỏng số và từ đó đưa ra các tạo tác không mong muốn . Vì vậy, phần này làm giảm chỉ số thực sự thách thức trong thực tế.

— Thomas Klimpel
nguồn