Vai trò của thông lượng số trong DG-FEM

13

Tôi đang tìm hiểu lý thuyết đằng sau các phương pháp DG-FEM bằng cách sử dụng cuốn sách Heraaven / Warburton và tôi hơi bối rối về vai trò của 'thông lượng số'. Tôi xin lỗi nếu đây là một câu hỏi cơ bản, nhưng tôi đã xem và không tìm thấy câu trả lời thỏa đáng cho nó.

Hãy xem xét phương trình sóng vô hướng tuyến tính: trong đó thông lượng tuyến tính được đưa ra là .

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f (u)}{\partial x} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$

f (u) = a u

$f(u) = au$

Như được giới thiệu trong cuốn sách của Heraaven, với mỗi phần tử , chúng ta kết thúc với phương trình , một phương trình cho mỗi hàm cơ bản, thực thi rằng phần dư biến mất một cách yếu: $k$ $N$

R_{h} (x, t) = \frac{\partial u_{h}}{\partial t} + \frac{\partial a u_{h}}{\partial x}

$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$

\int_{D^{k}} R_{h} (x, t) ψ_{n} (x) d x = 0

$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$

Khỏe. Vì vậy, chúng tôi trải qua tích hợp bởi các bộ phận một lần để đến 'hình thức yếu' (1) và tích hợp bởi các bộ phận hai lần để có được 'hình thức mạnh mẽ' (2). Tôi sẽ áp dụng hình thức tích phân bề mặt quá mức nhưng dễ khái quát của Heraaven trong 1D:

(1)

\int_{D^{k}} (\frac{\partial u_{h}^{k}}{\partial t} ψ_{n} - a u_{h}^{k} \frac{d ψ_{n}}{d x}) d x = - \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h})^{*} ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

(2)

\int_{D^{k}} R_{h} ψ_{n} d x = \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h}^{k} - (a u_{h})^{*}) ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

Tại sao chúng ta chọn một thông lượng số? Tại sao chúng ta không sử dụng giá trị của tại ranh giới trong (1) thay vì sử dụng từ thông? Đúng, đúng là giá trị của đại lượng này có thể được xác định nhân giữa các phần tử, nhưng mỗi phương trình chỉ có hơn 1 phần tử , vậy tại sao điều này lại quan trọng? $au_h^k$ $D^k$

Hơn nữa, thuật ngữ ranh giới của tích hợp thứ hai bởi các bộ phận rõ ràng mang lại một số lượng khác nhau lần thứ hai trong (2), điều này không có ý nghĩa với tôi. Chúng tôi đang làm hoạt động tương tự! Tại sao hai điều khoản ranh giới chỉ hủy bỏ, làm cho (2) trở nên vô dụng? Làm thế nào chúng tôi đã giới thiệu thông tin mới? $au_h^k$

Rõ ràng tôi đang thiếu một cái gì đó quan trọng đối với phương pháp, và tôi muốn sửa nó. Tôi đã thực hiện một số phân tích thực tế và chức năng, vì vậy nếu có một câu trả lời dựa trên lý thuyết hơn về công thức, tôi muốn biết!

finite-element discontinuous-galerkin

— người dùng3482876
nguồn

6

Một lý do bạn chọn một thông lượng số để bạn đảm bảo bảo tồn . Nếu từ thông tại đường biên không giống nhau cho mỗi phần tử có chung đường biên, thì lượng chảy ra từ một phần tử sẽ khác với lượng chảy vào phần tử lân cận. Điều này thường không mong muốn, vì bạn đang lập mô hình một phương trình vận chuyển bảo thủ.

u

$u$

u

$u$

— Tyler Olsen

8

Liên quan đến bình luận của Tylers, nhưng IMO thậm chí còn quan trọng hơn: thông lượng cũng giới thiệu một khớp nối giữa các bài toán con khác nhau. Mặt khác, không thể có sự lan truyền thông tin theo nghĩa rời rạc.

— Christian Waluga

3

Thông lượng số được chọn để đảm bảo rằng thông tin trong bài toán di chuyển theo hướng của các đường cong đặc trưng của phương trình (đảo lộn). Như đã đề cập trong các ý kiến, thông lượng số là cần thiết để ghép các bài toán con được xác định trên mỗi phần tử.

Một cách để có được một trực giác cho vai trò của thông lượng số là xem xét ví dụ đơn giản sau đây.

Hãy xem xét phương trình tiến vô hướng (trong đó đơn giản ) trong đó tên miền được cho bởi . Bởi vì đây là một phương trình hyperbol và thông tin được truyền từ trái sang phải, chúng ta cần thực thi một điều kiện biên tại (nhưng không phải tại ). Để cụ thể, giả sử chúng ta thi hành điều kiện Dirichlet đối với một số cho . $a=1$

\frac{\partial bạn}{\partial t} + \frac{\partial bạn}{\partial x} = = 0 trên Ω,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$

Ω = [0, 1]

$\Omega = [0,1]$

x = 0

$x = 0$

x = 1

$x = 1$

u (0, t) = g_{D}

$u(0,t) = g_D$

g_{D}

$g_D$

Giả sử bây giờ chúng tôi loại bỏ phương trình này bằng phương pháp DG và chúng tôi sử dụng hai phần tử, và . Chúng ta cũng có thể phân biệt rõ ràng bộ hai PDE được ghép nối sau đây, trong đó chúng ta sẽ ghép các phương trình này để làm cho chúng tương đương với bản gốc phương trình. $D_1 = [0,1/2]$ $D_2 = [1/2,1]$

\begin{aligned} (PDE 1): & v_{t} + v_{x} & = = 0 trên D_{1}, \\ (PDE 2): & w_{t} + w_{x} & = = 0 trên D_{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$

Để làm cho các phương trình trên được đặt ra tốt, chúng ta cần thực thi các điều kiện biên. Như trước đây, mỗi phương trình là hyperbolic và thông tin đang truyền từ trái sang phải. Do đó, chúng ta cần thực thi một điều kiện biên cho (PDE 1) ở điểm cuối bên trái của và điều kiện biên cho (PDE 2) ở điểm cuối bên trái của . $D_1$ $D_2$

Điều kiện biên trên điểm cuối bên trái của phải được chọn là để phù hợp với vấn đề ban đầu. Chúng tôi cũng tìm kiếm các giải pháp trơn tru, do đó, điều kiện biên ở điểm cuối bên trái của phải được chọn để thực thi tính liên tục. Điều kiện này đọc . $D_1$ $v(0,t) = g_D$ $D_2$ $w(1/2,t) = v(1/2,t)$

Phương pháp DG trong trường hợp này chọn chính xác các thông lượng số để thực thi các điều kiện biên trên. Nếu chúng tôi nhân với một hàm kiểm tra và tích hợp bởi các phần trên mỗi phần tử , chúng tôi có được các điều khoản biên của biểu mẫu Để "yếu" thực thi các điều kiện biên, chúng ta thay thế và bằng các giá trị được quy định tại các điểm đó trong đó các điều kiện biên được chỉ định (nghĩa là bên trái điểm cuối của và ). Điều này có nghĩa là chúng tôi thay thế $\psi$ $D_k$

\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}} \hat{n} \cdot v ψ d x & = = {[v ψ]}_{0}^{1 / 2} \\ \int_{\partial D_{2}} \hat{n} \cdot w ψ d x & = = {[w ψ]}_{1 / 2}^{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$

v

$v$

w

$w$

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

v (0, t)

$v(0,t)$ bởi và bởi trong các tích phân biên.

g_{D}

$g_D$

w (1 / 2, t)

$w(1/2,t)$

v (1 / 2, t)

$v(1/2,t)$

Nói cách khác, chúng tôi xác định tại và tại và chúng tôi phục hồi chính xác thông lượng gió ngược tiêu chuẩn được sử dụng trong DG phương pháp. $u_h^* = g_D$ $x = 0$ $u_h^* = v(1/2,t)$ $x=1/2$

Nhìn vào mọi thứ theo cách này, chúng ta có thể coi các hàm thông lượng số là thực thi yếu các điều kiện biên trên mỗi phần tử được yêu cầu để ghép các phương trình theo cách tôn trọng cấu trúc đặc trưng của phương trình.

Đối với các phương trình phức tạp hơn tiến bộ hệ số không đổi, thông tin có thể không truyền luôn theo cùng một hướng, và do đó, thông lượng số phải được xác định bằng cách giải (hoặc xấp xỉ giải pháp cho) một vấn đề Riemann tại giao diện. Điều này được thảo luận cho các vấn đề tuyến tính trong Phần 2.4 của cuốn sách Heraaven.

— Sẽ
nguồn

1

Nói một cách lỏng lẻo, có hai điều mà hầu hết các kỹ thuật phân biệt cần có để hội tụ vào giải pháp thực tế của PDE của bạn khi bạn tăng chất lượng gần đúng của chúng, bất kể bạn có sử dụng DG hay không:

Tính nhất quán (Nếu một hàm thỏa mãn PDE, thì nó cũng thỏa mãn công thức yếu của bạn) $u$
Tính ổn định (những thay đổi nhỏ trong dữ liệu dẫn đến những thay đổi nhỏ trong câu trả lời)

Các bước đầu tiên của một dẫn xuất DG nơi bạn tích hợp bởi các bộ phận trên mỗi thành phần lưới bảo tồn (1) vì bạn đang bắt đầu với PDE và chỉ áp dụng các hoạt động hợp pháp từ đó.

Điều này không cung cấp cho bạn (2) mặc dù. Bạn có thể tự mình nhìn thấy điều này bằng cách cố gắng lắp ráp ma trận của dạng yếu DG có công thức một phần và xem xét giá trị bản địa của nó - đối với bài toán phụ thuộc thời gian, chúng ta muốn tất cả chúng ở nửa mặt phẳng bên trái, nhưng không có thông lượng số thích hợp, chúng sẽ xuất hiện ở mọi nơi. Điều này dẫn đến một giải pháp bùng nổ theo thời gian theo cấp số nhân ngay cả khi vấn đề vật lý không xảy ra.

Do đó, bạn cần thêm các thuật ngữ vào công thức của mình để (2) được thỏa mãn, nhưng không gây tổn thương (1). Điều này là khó khăn để làm, nhưng không phải là không thể. Bạn có thể thay thế các giá trị hàm bằng giá trị trung bình của thành tế bào mà không ảnh hưởng đến tính nhất quán và bạn luôn có thể thêm bước nhảy vào thành tế bào mà không ảnh hưởng đến tính nhất quán (vì đối với giải pháp có đặc tính mịn phù hợp, bước nhảy chỉ là 0!) $u$

Mẹo nhỏ là kết hợp các bước nhảy và mức trung bình và kết hợp chúng theo cách mà sơ đồ của bạn vẫn nhất quán nhưng cũng ổn định. Sau đó, một định lý hội tụ thường tự tiết lộ.

Đây là những điều cơ bản, nhưng bạn cũng có thể thường xuyên đưa thêm vật lý vào dòng thông số để nó không chỉ đơn giản đáp ứng các yêu cầu toán học này mà còn chơi độc đáo với các nguyên tắc bảo tồn.

— Reid.Atcheson
nguồn

0

Khi bạn chọn hàm kiểm tra bằng với hàm dùng thử trong phương thức DG, bạn đang tạo ra một vấn đề tối ưu hóa. Đó là, bạn có một phương pháp Galerkin chứ không phải là phương pháp Petrov-Galerkin. Bạn đang tìm kiếm các đạo hàm thời gian của các biên độ hàm thử nghiệm sẽ giảm thiểu phần tử dư trong định mức L2 và bạn thực hiện mô phỏng này dựa trên giả định của hàm thông lượng nhất định tại dòng vào.

— Philip Roe
nguồn