Tính toán sơ đồ Voronoi của một vùng trong hộp

Tôi đang đối mặt với một vấn đề như sau: Tôi có một hộp chứa đầy điểm với một phân phối chưa biết nhất định và tôi muốn tính toán Biểu đồ Voronoï của nó. Vấn đề là số lượng điểm rất lớn đến mức điều này có thể không thể thực hiện được cho phân phối đầy đủ.

Do đó, tôi đã lên kế hoạch để làm điều đó chỉ cho một khu vực bên trong hộp, nơi số điểm không lớn. Để làm như vậy tôi cần biết cách tính vùng tối thiểu có thể ảnh hưởng đến sơ đồ Voronoi của một vùng nhỏ hơn trong hộp đó.

Nói cách khác, tôi muốn tính toán sơ đồ Voronoï của các điểm bên trong khối lập phương nhỏ của hình bên dưới phù hợp với sơ đồ Voronoï có các điểm của hộp đầy đủ lưu trữ sơ đồ Voronoï nhỏ nhất có thể có trong bộ nhớ.

Để tính toán sơ đồ Voronoi của các tập hợp điểm lớn (> 100 triệu), bạn có thể sử dụng thuật toán sau:

1) create a kd-tree with all the points
2) for each point p [in parallel optionally]
     N = 10
     while not finished
       compute the N nearest neighbors of the point p
       compute the intersection of the N half-spaces defined by p 
       and the neighbors
       if there is a neighbor further away than 
         twice the radius of the ball centered on p and 
         bounding the intersection, finished = true
       N = N * 1.5
  // when exiting the loop, the computed intersection 
  // corresponds to the Voronoi cell of p, because no other bisector
  // can contribute to the Voronoi cell.

Thuật toán được giải thích với các chi tiết khác trong bài viết của tôi . Nó có thể bị đóng băng song song (chỉ cần thêm "#pragma ompallel cho" trước vòng lặp chính), vì không có phụ thuộc dữ liệu. Nó được triển khai trong thư viện lập trình GEOGRAM C ++ của tôi (cùng với Kd-Tree hiệu quả bộ nhớ có quy mô lên tới hơn 100 triệu điểm). Lưu ý rằng trong GEOGRAM cũng có triển khai Delaunay / Voronoi tiêu chuẩn song song hoạt động tốt với tối đa 100 triệu trang web.

Liên quan đến việc triển khai song song thuật toán cổ điển (Boywer-Watson), việc triển khai GEOGRAM được ghi lại ở đây (xem thêm tệp nguồn c ++ có liên quan có nhiều nhận xét). Tôi không có bài báo được xuất bản về nó, tôi sẽ viết một bài nếu thời gian cho phép. Ý tưởng chính là sử dụng spinlocks liên kết với tứ diện để đảm bảo rằng chỉ một luồng riêng lẻ có thể sửa đổi một tứ diện.

Có vẻ như các chuyên gia không trả lời câu hỏi của bạn nên tôi sẽ cố gắng cung cấp một ý tưởng. Nhưng trước khi tôi làm điều đó, tôi thực sự khuyên bạn nên tìm kiếm trong tài liệu về một số phương pháp tinh vi đã được phát triển. Tuy nhiên, không đảm bảo rằng đây là một đề xuất tốt hay nhanh hay hiệu quả, tôi đề xuất phương pháp sau. Hãy nhớ rằng, tôi có thể đã phạm một số sai lầm, vì vậy tôi không đảm bảo rằng mọi thứ đều hoàn toàn chính xác, nhưng tôi hy vọng ý tưởng về phương pháp này cung cấp cho bạn một số phương pháp sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề của mình.

Đặt là tập hợp các điểm của bạn trong toàn bộ khối "lớn". Fix "nhỏ" cube của bạn C ở đâu đó trong khối lập phương lớn và để cho V C là tập hợp các điểm được chứa trong C , tức là V C = V ∩ C . Ban đầu bộ V ' C = V C .$V$$C$$V_C$$C$$V_C = V \cap C.$$V'_C=V_C$

Bước 1: Tạo sơ đồ Voronoi . Với mỗi điểm v ∈ V ′ C biểu thị bằng V o r ( v ) ô Voronoi của nó, là một khối đa diện lồi trong ba không gian. Hơn nữa, biểu thị bởi W ( v ) các đỉnh của tế bào Voronoi tập trung ở v ∈ V ' C và W ( V ' C ) = ∪ v ∈ V $Vor(V'_C)$$v \in V'_C$$Vor(v)$$W(v)$$v \in V'_C$các đỉnh của tất cả các ô Voronoi từ sơ đồ VoronoiVor(V′C).$W(V'_C) = \cup_{v \in V'_C} W(v)$$Vor(V'_C)$

Bước 2: Tô màu tất cả các điểm từ và tất cả các đỉnh Voronoi W ( V ′ C ) màu trắng.$V'_C$$W(V'_C)$

Bước 3: Với mỗi đỉnh Voronoi vẽ hình cầu Delaunay có tâm tại w , đó là hình cầu có tâm w và bán kính khoảng cách giữa w và một trong các điểm từ V ′ C có ô Voronoi có w như một đỉnh (không quan trọng là điểm nào, có một số nhưng kết quả luôn giống nhau).$w \in W(V'_C)$$w$$w$$w$$V'_C$$w$

Trường hợp 3.1. Nếu hình cầu Delaunay của được chứa trong khối C , màu w màu đen.$w$$C$$w$

Trường hợp 3.2. Nếu hình cầu Delaunay không được chứa trong khối nhưng nó không chứa bất kỳ điểm nào từ V trong phần bên trong (mở) của nó, tô màu điểm w màu đen.$C$$V$$w$

Trường hợp 3.3. Nếu hình cầu Delaunay của chứa các điểm từ V trong phần bên trong (mở) của nó, (1) thêm các điểm từ V chứa trong phần bên trong của hình cầu vào tập V ′ C và (2) giữ màu của điểm w trắng . $w$$V$$V$$V'_C$$w$

Bước 4: Đối với mỗi điểm kiểm tra nếu tất cả các đỉnh Voronoi W ( v ) của tế bào Vornoi của nó là màu đen. Nếu không phải tất cả chúng đều màu đen, hãy giữ màu của v trắng. Nếu chúng màu đen, màu v đen.$v \in V'_C$$W(v)$$v$$v$

Bước 5: Kiểm tra xem tất cả các điểm của bộ ban đầu có màu đen không.$V_C$

Trường hợp 5.1. Nếu họ là tất cả màu đen, Voronoi sơ đồ giới hạn trong khối C là phần cục bộ của toàn cầu Voronoi sơ đồ V o r ( V ) giới hạn C . Kết thúc.$Vor(V'_C)$$C$$Vor(V)$$C$

Trường hợp 5.2. Nếu có các đỉnh trắng trong , thì quay lại Bước 1. Ở Bước 1, khi tạo sơ đồ Voronoi mới V o r ( V ′ C ) , người ta giữ các ô Voronoi quanh các điểm đen từ V ′ C như nhau, giữ tất cả các đỉnh Voronoi màu đen từ W ( V ′ C ) và thực hiện thay đổi chỉ liên quan đến các đỉnh trắng. $V_C$$Vor(V'_C)$$V'_C$$W(V'_C)$

Tôi hi vọng cái này giúp được.

Cách đơn giản nhất để thực hiện việc này là bao quanh hộp mực của bạn bằng một hộp lớn hơn chứa ít nhất tất cả các điểm lân cận gần nhất của các điểm trong hộp bên trong của bạn. Lưu ý rằng sẽ có một vấn đề phát sinh khi hộp bên trong gần với cạnh của hộp dữ liệu bao gồm: bạn không có điểm bên ngoài.

Tính toán một phần tử Voronoi / Delaunay có thể tinh tế hơn bạn nghĩ. Một trong những vấn đề là làm thế nào để quyết định chính xác liệu một điểm nằm ở một bên hay bên kia của mặt phẳng / đường thẳng.

Có thư viện C ++ "CGAL" rất đầy đủ để thực hiện việc này tại http://www.cgal.org/ . Các đồng nghiệp của tôi và tôi đã sử dụng điều này trong một số bài báo được xuất bản trong vật lý thiên văn: nó dường như rất vững chắc trong việc giải quyết tất cả những cạm bẫy tiềm tàng trong việc tạo ra những điều này.

Tôi hiểu câu hỏi của bạn như sau: Tôi muốn vẽ sơ đồ Voronoi cho một tập hợp con các điểm sao cho giống như điểm thu được khi xem xét tập hợp các điểm hoàn chỉnh. Các sơ đồ Voronoi được vẽ bằng cách trước tiên nối các điểm lân cận và sau đó vẽ mặt phẳng vuông góc với đường thẳng tại điểm giữa. Bạn làm điều này cho tất cả những người hàng xóm gần nhất và bạn có một sơ đồ voronoi trong vùng lân cận của một điểm. Làm điều này cho tất cả các điểm và bạn có sơ đồ voronoi cho tất cả các điểm. Bạn thấy, sơ đồ voronoi được xác định cục bộ. Không có hàng xóm thứ hai gần nhất hoặc hiệu ứng hàng xóm gần thứ ba. Chỉ có hiệu ứng hàng xóm gần nhất đầu tiên. Vì vậy, tất cả những gì bạn phải làm để có được một sơ đồ voronoi với một tập hợp điểm là xác định các điểm trong tiểu vùng quan tâm, kết nối chúng với tất cả các hàng xóm gần nhất tương ứng của chúng, và vẽ một mặt phẳng đi qua các điểm giữa của các đoạn thẳng này và vuông góc với đoạn thẳng. Sơ đồ này sẽ giống nhau cho một khu vực địa phương cho dù bạn xem xét một khu vực phụ hoặc khu vực hoàn chỉnh.

Tôi đề nghị bạn nên có một cách tiếp cận trực quan và trực quan bằng cách sử dụng Grasshopper cho Rhinoceros3D. Mặc dù Rhinoceros là gói CAD thương mại và Grasshopper là một plugin cho nó, nhưng bạn có thể chạy các plugin miễn phí mà không bị giới hạn và thực hiện các thử nghiệm của mình (Rhino3D không được cấp phép chỉ giới hạn lưu tệp Rhino). Grasshopper bao gồm một số lượng lớn các hàm toán học được sử dụng trong một khung vẽ và sơ đồ 3D Voronoi là một trong số đó.