Giải hai bài toán ngược với cùng một giải pháp

Tôi có hai vấn đề nghịch đảo,

A_{1} x = b_{1} A_{2} x = b_{2}

$A_1 ~ x = b_1 \qquad A_2 ~ x = b_2$

Cho đến nay tôi đã giải quyết chúng một cách độc lập bằng cách sử dụng Tikhonov Chính quy hóa và nhận được hai ước tính cho . Tuy nhiên trong trường hợp của tôi đại diện cho cùng một giải pháp trong cả hai phương trình. Có thể thực hiện giải quyết 'đồng thời' không? Lý tưởng nhất là tôi sẽ tìm câu trả lời cho $x$ $x$

min (‖ A_{1} x - b_{1} ‖^{2} + ‖ A_{2} x - b_{2} ‖^{2} + ‖ Γ x ‖^{2})

$\min \left( \lVert A_1 x - b_1 \rVert^2 + \lVert A_2 x - b_2 \rVert^2 + \lVert\Gamma x\lVert^2 \right)$

Trong đó $\Gamma = \alpha ~ I$ và $I$ là ma trận danh tính như trong Tikhonov Chính quy (hay còn gọi là hồi quy sườn núi). Tôi cho rằng tôi chỉ có thể lấy trung bình của cả hai giải pháp, tự hỏi liệu có cách nào mạnh mẽ hơn về mặt thống kê để tiếp cận điều này không.

linear-algebra numerical-analysis inverse-problem

— bất thường
nguồn

Độ chính xác tương đối của các phép đo trong và gì? Bạn có thể cần phải mở rộng quy mô để điều chỉnh cho điều này. Có phải tất cả các phép đo độc lập? Tương quan có thể làm phức tạp mọi thứ.

b_{1}

$b_{1}$

b_{2}

$b_{2}$

— Brian Borchers

Ngay bây giờ tất cả đều được mô hình hóa để tôi biết và một cách hoàn hảo, nhưng trong thực tế tôi sẽ biết với độ chính xác gấp 10 lần. Tuy nhiên ở bước này tôi muốn giả sử tôi biết cả hai đều như nhau và họ độc lập.

b_{1}

$b_1$

b_{2}

$b_2$

b_{1}

$b_1$

— bất thường

Vậy câu hỏi của bạn ở đây là gì? Thật dễ dàng để giải quyết vấn đề bình phương tối thiểu ba thuật ngữ bạn đã đưa ra trong câu hỏi của mình.

— Brian Borchers

Là nó? Nếu bạn giải thích trong câu trả lời tôi sẽ đánh dấu nó đúng. Tôi chỉ sử dụng các thói quen cơ bản như bộ giải vuông nhỏ nhất của numpy . Tôi không đến từ nền tảng CS, vì vậy tôi có thể thiếu một cái gì đó rõ ràng.

— bất thường

Bạn có thể viết vấn đề của bạn như

$\min \| Fm - g \|_{2}^{2}$

Ở đâu

$F=\left[ \begin{array}{c} A_{1} \\ A_{2} \\ \alpha I \\ \end{array} \right]$

và

$g=\left[ \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ 0 \\ \end{array} \right].$

Bạn có thể sử dụng bất kỳ phương pháp giải bình phương tối thiểu tuyến tính nào bạn muốn giải quyết vấn đề này.

— Brian Borchers
nguồn