Lắp các bề mặt tiềm ẩn cho các bộ điểm định hướng

12

Tôi có một câu hỏi liên quan đến tứ giác phù hợp với một tập hợp các điểm và các quy tắc tương ứng (hoặc tương đương, các tiếp tuyến). Lắp bề mặt tứ giác để dữ liệu điểm được khám phá tốt. Một số tác phẩm như sau:

Kiểu lắp trực tiếp của các bề mặt tứ giác , James Andrew, Carlo H. Sequin Thiết kế và ứng dụng hỗ trợ máy tính, 10 (a), 2013, bbb-ccc
Kết hợp đại số của các bề mặt tứ giác với dữ liệu , I. Al-Subaihi và GA Watson , Đại học Dundee

Phù hợp với các đường viền chiếu cũng được bao phủ bởi một số công trình, chẳng hạn như cái này .

Từ tất cả các tác phẩm này, tôi nghĩ rằng phương pháp Taubin cho lắp Quadric khá phổ biến:

G. Taubin, "Ước tính các đường cong phẳng, bề mặt và đường cong không gian phi phẳng được xác định bởi các phương trình ngầm định, với các ứng dụng cho phân đoạn hình ảnh cạnh và phạm vi ", IEEE Trans. PAMI, Tập. 13, 1991, tr1115-1138.

Hãy để tôi tóm tắt ngắn gọn. Một tứ giác $Q$ có thể được viết dưới dạng đại số:

f (c, x) = A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + 2 D x y + 2 E x z + 2 F y z + 2 G x + 2 H y + 2 I z + J

$f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = A x^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J$ trong đó

c

$\mathbf{c}$ là vectơ hệ số và

x

$\mathbf{x}$ là tọa độ 3D. Bất kỳ điểm

x

$\mathbf{x}$ nằm trên tứ giác

Q

$Q$ nếu

x^{T} Q x = 0

$\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}=0$ , trong đó:

Q = [\begin{matrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \end{matrix}]

$Q = \begin{bmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \\ \end{bmatrix}$

Phù hợp đại số Về nguyên tắc, chúng tôi muốn giải các tham số giảm thiểu tổng khoảng cách hình học bình phương giữa các điểm và bề mặt bậc hai. Thật không may, hóa ra đây là một vấn đề tối ưu hóa không lồi mà không có giải pháp phân tích nào được biết đến. Thay vào đó, một cách tiếp cận tiêu chuẩn là giải quyết sự phù hợp đại số, đó là giải quyết các tham số $\mathbf{c}$ tối thiểu hóa:

\sum_{i = 1}^{n} f (c, x^{i})^{2} = c^{T} M c

$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i)^2 = \mathbf{c}^T M \mathbf{c}$ với

M = \sum_{i = 1}^{n} l (x^{i}) l (x^{i})^{T}

$M = \sum\limits_{i=1}^{n} l(\mathbf{x}^i)l(\mathbf{x}^i)^T$ nơi

{x^{i}}

$\{\mathbf{x}^i\}$ là những điểm trong đám mây điểm và

l = [x^{2}, y^{2}, z^{2}, x y, x z, y z, x, y, z, 1]^{T}

$l = [x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, x,y,z, 1]^T$

Lưu ý rằng giảm thiểu trực tiếp như vậy sẽ mang lại giải pháp tầm thường với $\mathbf{c}$ tại điểm gốc. Câu hỏi này đã được nghiên cứu rộng rãi trong các tài liệu. Một độ phân giải đã được tìm thấy hoạt động tốt trong thực tế là phương pháp Taubin (được trích dẫn ở trên), đưa ra các ràng buộc:

‖ \nabla_{x} f (c, x^{i}) ‖^{2} = 1

$\| \nabla_x f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i) \|^2 = 1$

Điều này có thể được giải quyết như sau: Hãy: trong đó các chỉ số biểu thị các đạo hàm. Giải pháp được đưa ra bằng cách phân tách Eigen tổng quát, . Vectơ tham số phù hợp nhất bằng với Eigenvector tương ứng với Eigenvalue nhỏ nhất.

N = \sum_{i = 1}^{n} l_{x} (x^{i}) l_{x} (x^{i})^{T} + l_{y} (x^{i}) l_{y} (x^{i})^{T} + l_{z} (x^{i}) l_{z} (x^{i})^{T}

$N = \sum\limits_{i=1}^n l_x(\mathbf{x}^i)l_x(\mathbf{x}^i)^T+ l_y(\mathbf{x}^i)l_y(\mathbf{x}^i)^T + l_z(\mathbf{x}^i)l_z(\mathbf{x}^i)^T$

(M - λ N) c = 0

$(M −\lambda N) \mathbf{c} = 0$

Câu hỏi chính Trong nhiều ứng dụng, các quy tắc của đám mây điểm có sẵn (hoặc được tính toán). Các quy tắc của tứ giác cũng có thể được tính bằng cách phân biệt và chuẩn hóa bề mặt ẩn: $\mathbf{N}(x)$

N (x) = \frac{\nabla f (c, x)}{‖ \nabla f (c, x) ‖}

$\mathbf{N}(x) = \frac{\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})}{\|\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})\|}$

trong đó

\nabla f (c, x) = 2 [\begin{matrix} A x + D y + F z + G \\ B y + D x + E z + H \\ C z + E y + F x + I \end{matrix}]

$\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = 2 \begin{bmatrix} Ax + Dy + Fz + G \\ By + Dx + Ez + H \\ Cz + Ey + Fx + I \\ \end{bmatrix}$

Tuy nhiên, phương pháp của Taubin chỉ sử dụng hình học điểm chứ không sử dụng không gian tiếp tuyến. Và tôi không nhận thức được nhiều phương pháp, phù hợp với các tứ giác phù hợp sao cho các tiếp tuyến của tứ giác cũng khớp với các tiếp tuyến của đám mây điểm bên dưới. Tôi đang tìm kiếm các phần mở rộng tiềm năng của phương pháp trên, hoặc bất kỳ phần mở rộng nào khác để chi trả cho các công cụ phái sinh đầu tiên này.

Những gì tôi muốn đạt được có thể được giải quyết một phần trong không gian chiều thấp hơn, với các loại bề mặt (đường cong) nguyên thủy hơn. Ví dụ, khớp đường thẳng với các cạnh hình ảnh, xem xét thông tin độ dốc được đề cập ở đây . Việc lắp các mặt phẳng (một loại hình tứ giác đơn giản) vào các đám mây 3D là rất phổ biến ( liên kết 1 ) hoặc các hình cầu hoặc hình trụ phù hợp có thể phù hợp với các tập hợp điểm định hướng ( liên kết 2 ). Vì vậy, những gì tôi đang tự hỏi là một cái gì đó tương tự, nhưng nguyên thủy được trang bị là một hình tứ giác.

Tôi cũng hoan nghênh việc phân tích phương pháp được đề xuất như:

Số lượng tối thiểu của các điểm định hướng cần thiết là gì?
Các trường hợp thoái hóa là gì?
Có thể nói bất cứ điều gì về sự mạnh mẽ?

Cập nhật : Tôi muốn trình bày một hướng để làm theo. Chính thức, những gì tôi mong muốn đạt được:

‖ \nabla f - n ‖ = 0

$\| \nabla f - \mathbf{n} \| = 0$ tại điểm . Có lẽ có thể hợp nhất nó với phương pháp của Taubin để đưa ra một ràng buộc bổ sung và giảm thiểu sử dụng hệ số nhân Lagrange?

x

$\mathbf{x}$

— Chim cánh cụt
nguồn

Không có nhiều yếu tố của Q bị đặt sai vị trí trong Q?

— Hồi giáo

Bạn đã đúng, và bây giờ tôi đã sửa lỗi này.

— Birdga Tolga

4

Tôi đã rất ngạc nhiên vì không nhận được câu trả lời thỏa đáng cho câu hỏi trên và các cuộc điều tra của tôi cho tôi thấy rằng đây thực sự là một khu vực chưa được khám phá. Do đó, tôi đã nỗ lực phát triển các giải pháp cho vấn đề này và xuất bản các bản thảo sau:

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic và P. Sturm. "Một cách tiếp cận tối giản để phát hiện các loại hình tứ giác trong các đám mây điểm." Kỷ yếu của Hội nghị IEEE về Tầm nhìn máy tính và Nhận dạng mẫu. 2018. http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/html/Birdal_A_Minimalist_Approach_CVPR_2018_apers.html

T. Birdal, B. Busam, N. Navab, S. Ilic và P. Sturm, "Phát hiện nguyên thủy chung trong các đám mây điểm bằng cách sử dụng Phù hợp tứ giác tối thiểu Novel", trong Giao dịch của IEEE về Phân tích mẫu và Thông minh máy. https://arxiv.org/abs/1901.01255

Tôi sẽ chạm nhanh vào ý chính ở đây:

Cách tiếp cận này tương tự như điều chỉnh độ dốc một ( ). Chúng tôi căn chỉnh vectơ độ dốc của tứ giác với bình thường của đám mây điểm . Tuy nhiên, không giống như phục, chúng tôi chọn sử dụng ràng buộc tuyến tính để tăng thứ hạng thay vì thường xuyên hóa giải pháp. Điều này dường như không tầm thường vì căn chỉnh vectơ-vectơ mang lại một ràng buộc phi tuyến tính ở dạng: $\nabla 1$ $\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)$ $\mathbf{n}_i \in \mathbb{R}^3$ $\nabla 1$

\begin{aligned} \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} - n_{i} = 0 or \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} \cdot n_{i} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} - \mathbf{n}_i\, = \,0\,\quad\text{or}\,\quad \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} \,\cdot\, \mathbf{n}_i\, = \,1. \end{align}$ Sự không tuyến tính được gây ra bởi sự chuẩn hóa vì khó có thể biết được độ lớn và do đó thang đo đồng nhất trước. Chúng tôi giải quyết vấn đề này bằng cách giới thiệu thang đo đồng nhất bình thường trong số các ẩn số và viết: trong đó Xếp thứ này lên cho tất cả điểm và dẫn đến một hệ thống có dạng :

α_{i}

$\alpha_i$

\begin{aligned} \nabla Q (x_{i}) = \nabla v_{i}^{T} q = α_{i} n_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \mathbf{Q}( \mathbf{x}_i) = \nabla \mathbf{v}^T_i \mathbf{q} = \alpha_i \mathbf{n}_i \end{align}$

v = {[\begin{matrix} x^{2} & y^{2} & z^{2} & 2 x y & 2 x z & 2 y z & 2 x & 2 y & 2 z & 1 \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x^2 & y^2 & z^2 & 2xy & 2xz & 2yz & 2x & 2y & 2z & 1 \end{bmatrix}^T$

N

$N$

x_{i}

$\mathbf{x}_i$

n_{i}

$\mathbf{n}_i$

A^{'} q = 0

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{q}=\mathbf{0}$

[\begin{matrix} v_{1}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ v_{2}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ v_{n}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \nabla v_{1}^{T} & - n_{1} & 0_{3} & \dots & 0_{3} \\ \nabla v_{2}^{T} & 0_{3} & - n_{2} & \dots & 0_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \nabla v_{n}^{T} & 0_{3} & 0_{3} & \dots & - n_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ ⋮ \\ I \\ J \\ α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}] = 0

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{v}^T_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \mathbf{v}^T_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}^T_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ {\nabla \mathbf{v}_1^T} & -\mathbf{n}_1 & \mathbf{0}_3 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ {\nabla \mathbf{v}_2^T} & \mathbf{0}_3 & -\mathbf{n}_2 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\nabla \mathbf{v}_n^T} & \mathbf{0}_3 & \mathbf{0}_3 & \cdots & -\mathbf{n}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ \vdots \\ I \\ J \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} = \mathbf{0} \end{equation}$ - \ mathbf {n} _n \ end {bmatrix} \ started {bmatrix} A \\ B \\ \ vdots \\ I \\ J \\ \ alpha_1 \\ \ alpha_2 \\ \ vdots \\ \ alpha_n \ end { bmatrix} = \ mathbf {0} \ end {phương trình} trong đó , là một

\nabla v_{i}^{T} = \nabla v (x_{i})^{T} \in R^{3 \times 10}

${\nabla \mathbf{v}_i^T}= {\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x}_i)^T \in \mathbb{R}^{3\times 10}}$

0_{3}

$\mathbf{0}_3$

3 \times 1

$3\times 1$ vectơ cột của các số 0, là và là các thang đo đồng nhất chưa biết.

A^{'}

$\mathbf{A}^\prime$

4 N \times (N + 10)

$4N\times(N+10)$

α = {α_{i}}

$\boldsymbol{\alpha}=\{\alpha_i\}$

Mặc dù giải pháp của công thức này nằm trong nullspace của tạo ra kết quả chấp nhận được, hệ thống hoàn toàn không bị ràng buộc trong những gì nó có thể làm (các yếu tố tỷ lệ quá miễn phí). Tốt hơn là tìm một trình chỉnh sửa thích hợp mà cũng không quá phức tạp để thực hiện. Trong thực tế, một lần nữa tương tự với điều chỉnh độ dốc một, chúng ta có thể thích độ dốc đa thức định mức đơn vị, và do đó, có thể viết hoặc tương đương , một yếu tố tỷ lệ phổ biến. Hạn chế mềm này $\mathbf{A}^{\prime}$ $\alpha_i=1$ $\alpha_i \gets \bar{\alpha}$ sẽ cố gắng bắt buộc tập hợp số không của đa thức tôn trọng tính liên tục cục bộ của dữ liệu. Việc chính quy hóa như vậy cũng giúp chúng ta giải quyết hệ thống đồng nhất nhạy cảm và cho phép chúng ta viết lại hệ thống ở dạng gọn hơn : $\mathbf{A}\mathbf{q}=\mathbf{n}$

[\begin{matrix} x_{1}^{2} & y_{1}^{2} & z_{1}^{2} & 2 x_{1} y_{1} & 2 x_{1} z_{1} & 2 y_{1} z_{1} & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 1 \\ x_{2}^{2} & y_{2}^{2} & z_{2}^{2} & 2 x_{2} y_{2} & 2 x_{2} z_{2} & 2 y_{2} z_{2} & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 1 \\ ⋮ \\ 2 x_{1} & 0 & 0 & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{1} & 0 & 2 x_{1} & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 x_{2} & 0 & 0 & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{2} & 0 & 2 x_{2} & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ n_{x}^{1} \\ n_{y}^{1} \\ n_{z}^{1} \\ n_{x}^{2} \\ n_{y}^{2} \\ n_{z}^{2} \\ \dots \end{matrix}]

$\small \begin{bmatrix} x_1^2 & y_1^2 & z_1^2 & 2x_1y_1 & 2x_1z_1 & 2y_1z_1 & 2x_1 & 2y_1 & 2z_1 & 1\\ x_2^2 & y_2^2 & z_2^2 & 2x_2y_2 & 2x_2z_2 & 2y_2z_2 & 2x_2 & 2y_2 & 2z_2 & 1\\ &&&& \vdots &&&&&\\ 2x_1 & 0 & 0 & 2y_1 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_1 & 0 & 2x_1 & 0 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_1 & 0 & 2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 2x_2 & 0 & 0 & 2y_2 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_2 & 0 & 2x_2 & 0 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_2 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & 0 & 0 & 2 & 0\\ &&&& \vdots &&&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ {n}^1_x \\ {n}^1_y \\ {n}^1_z \\ {n}^2_x \\ {n}^2_y \\ {n}^2_z \\ \dots \end{bmatrix}$

Nói chung, việc giải hệ phương trình này sẽ đồng thời hướng dẫn tứ giác trở thành sự cố cho đám mây điểm trong khi căn chỉnh độ dốc của nó theo các quy tắc. Cũng có thể cân nhắc sự đóng góp của các điểm và quy tắc khác nhau. Trong một số trường hợp nhất định, để có được sự phù hợp với từng loại cụ thể, một thiết kế lại nhỏ của điều chỉnh theo các điều kiện nguyên thủy mong muốn. Đối với tất cả các chi tiết này cũng như một số phân tích lý thuyết và mã giả, tôi giới thiệu bạn đến các ấn phẩm nói trên. $\mathbf{A}$

— Chim cánh cụt
nguồn

Điều đó thật tuyệt! Làm thế nào một người có thể sửa đổi A để cân nhắc sự đóng góp tương đối của các điểm và quy tắc khác nhau?

— Hồi giáo

Chỉ cần nhân các hàng đầu tiên là phương trình điểm, với trọng số mong muốn. Tùy chọn, để chia tỷ lệ các hàng tương ứng với các quy tắc, người ta cũng cần phải chia tỷ lệ phía bên phải của phương trình: .

n

$\mathbf{n}$

— Birdga Tolga

Cảm ơn. Không nên xóa biểu tượng chuyển vị khỏi q và n trong phương trình cuối cùng?

— Hồi giáo

Cảm ơn một lần nữa. Loại bỏ chúng.

— Birdga Tolga

1

Tôi biết một ví dụ trong đó các quy tắc đã được đưa vào quy trình lắp. Nó không phải là một phù hợp tứ giác trực tiếp mặc dù. Một miếng vá tham số địa phương được trang bị cho các điểm và quy tắc. Sử dụng quy tắc cho nhiều phương trình hơn trong bài toán khớp, cho phép sử dụng đa thức bậc cao hơn.

Một thuật toán bậc ba mới cho xấp xỉ các vectơ chỉ đạo chính

— Abhilash Reddy M
nguồn

0

Xem thêm bài viết này

Nội suy Hermite của các bề mặt tiềm ẩn với các hàm cơ sở xuyên tâm

và mở rộng ist

Hermite Radial Chức năng cơ bản Implicits

— lhf
nguồn