Tích hợp đa thức Lagrange với nhiều nút, làm tròn

Cho một tập hợp các điểm $\{x_j\}_{j=1}^n$ trong $[-1, 1]$ , tôi muốn để tính

$$\int_{-1}^{1} L_i(x)\,\text{d} x$$ chính xác. $L_i$ là đa thức đối với các điểm với Lagrange$x_j$ với$x_i$ như nút, tức là $$L_i(x) = \prod_{j\neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}.$$ Vì đây là một đa thức bậc$n$, tôi có thể sử dụng bất kỳ phương trình Gaussian cũ nào có đủ độ. Điều này hoạt động tốt nếu$n$không quá lớn, nhưng dẫn đến kết quả bị lỗi do lỗi làm tròn cholớn$n$.

Bất cứ ý tưởng làm thế nào để tránh những?

Cách tính

$$\int_{-1}^{1} L_k(x)\,\text{d} x$$ cho Lagrange đa thức$L_k$ xác định trên một lưới tùy ý$x_k, k=0,\ldots,n$ có thể được thực hiện bởi hai bước sau:

1. Tính trọng số bậc hai Clenshaw-Curtis $w^{\text{cc}}_k$ trên lưới cực trị Ch Quashev $y_k$ với $k=0,\ldots,n$ :

   $$y_k = \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\\ w^{\text{cc}}_k = \frac{c_k}{n }\Bigg(1-\sum_{j=1}^{\lfloor{n/2}\rfloor} \frac{b_j}{4j^2-1} \cos\left(\frac{2\pi \,j \, k}{n}\right)\Bigg)$$ trong đó$b_k := 1$với$k=n/2$, nếu không thì$b_k:=2$và$c_k:=1$với$k=0$hoặc$k=n$, nếu không thì$c_k:=2$. Xem bài báo của Waldvogel (2006) để biết thêm chi tiết.

2. Biến đổi các trọng số $w^{\text{cc}}_k$ thành lưới tùy ý $x_k, k = 0,\ldots, n$ , thông qua ma trận biến đổi $M$ để có được các trọng số tìm kiếm $w_k$ ,

   $$w_k = \sum_{j} M_{kj} w_j^{\text{cc}}$$ trong đó $$M_{jk} \ = \ L_j(y_k)\,.$$

Về nguyên tắc, đây chỉ là phương trình bậc hai Clenshaw-Curtis với các giá trị hàm trên lưới tùy ý $x_k$ , nhưng thu được bằng cách chuyển đổi cơ bản (đối với một giới thiệu chung về Clenshaw-Curtis, xem ví dụ như bài báo Trefethen).

Thuật toán dường như khá ổn định, đặc biệt khi so sánh với phương pháp Vandermonde như được cung cấp trong câu trả lời của @Kirill : mặc dù nó theo cùng một ý tưởng - tạo ra các trọng số bậc hai trong một cơ sở đã biết và sau đó chuyển sang lưới mới - điều này có thể đã được dự kiến ​​vì sự chuyển đổi về mặt ma trận Vandermonde thường bị điều hòa rất cao.

---

Ví dụ: Tạo trọng lượng cầu phương Legendre-lobatto

Chúng tôi xem xét ví dụ về quy tắc bậc hai Legendere-lobatto và so sánh độ chính xác với phương pháp đơn trị. Là một tài liệu tham khảo, chúng tôi sử dụng các trọng số vuông góc $w_k^{\text{Leg}}$ thu được bằng các Golub-Welsch thuật toán cho khác nhau $n$ và tính toán sai số tích lũy

$$\epsilon_n = \sum_{k=1}^n \Big(w_k - w_k^{\text{Leg}}\Big)^2$$ Dưới đây là kết quả: Một nhận xét rằng các trọng cầu phương Clenshaw-Curtis là hoàn toàn ổn định trong suốt dải coi là gridpoints và tái tạo các trọng Legendre lên đến độ chính xác máy ( $\sqrt{\epsilon} \sim 10^{15}$ ).

---

Ví dụ: Tạo công thức bậc hai Newton-Cotes

Chúng tôi xem xét việc tạo ra công thức bậc hai Newton-Cotes trên các lưới cách đều nhau. Một lần nữa, người ta mong đợi một điều hòa không tốt, vì, trong ngắn hạn, cho phép nội suy đa thức các lưới cách đều nhau là baaad.

Trong hình sau đây, tôi đã tính tổng tuyệt đối của các trọng số $\sum_i |w_i|/N$ .

Lên đến 50 điểm lưới, kết quả của phương pháp đơn thức và Clenshaw-Curtis đồng ý. Sau đó, Clenshaw-Curtis trở nên tốt hơn - vì những gì nó đáng giá. Một cách giải thích trực tiếp là, lưới cách đều nhau làm hỏng mọi thứ, giả sử, $n>10$ . Tuy nhiên, vào khoảng $n=50$ , điều kiện của ma trận Vandermonde lại xuất hiện và dẫn đến một kết quả thậm chí còn tồi tệ hơn.

---

Ví dụ: phương trình bậc hai Guass-Patterson

Ví dụ này là do @ NicoSchlömer. Tôi đã không biết các quy tắc này cho đến nay, vì vậy tôi đã lấy các abscissas từ việc triển khai này và áp dụng cả phương pháp Vandermonde và Clenshaw-Curtis đã chuyển đổi (trong đó, như trên, cách tiếp cận Vandermonde đang sử dụng thuật toán Bjork-Pereyra).

Như đã đề xuất trong bình luận, sau đó tôi đã tính toán lỗi tích hợp hàm hằng bằng

$$\epsilon = \frac{1}{n}\Bigg|2-\sum_{i=1}^n w_i\Bigg|\,,$$ với kết quả sau:

Từ bức tranh này, cách tiếp cận Clenshaw-Curtis được chuyển đổi có vẻ hiệu quả hơn so với cách tiếp cận Vandermonde (ít nhất là trong số học chính xác hữu hạn). Tuy nhiên, Clenshaw-Curtis phá vỡ bắt đầu từ chỉ số 7, vì vậy các phương pháp khác nên được sử dụng.

$b^\top V^{-1}$$b=(2,0,\frac23,0,\frac25,0,\ldots)$

$0\leq x_1<x_2<\cdots <x_n$$V$$b$$0\leq x_1$$O(n^2)$$L_i$$x\mapsto \frac12(x+1)$

$O(\epsilon_{\mathrm{mach}})$

module VandermondeInverse

using SpecialMatrices

function main(n=8)
  X = Rational{BigInt}[k//(n-1) for k=0:n-1]
  # X = convert(Vector{Rational{BigInt}}, linspace(-1, 1, n))
  x = convert(Vector{Float64}, X)

  A = convert(Matrix{Rational{BigInt}}, Vandermonde(X))
  b = [i%2==0 ? 2//(i+1) : 0 for i=0:n-1]
  println("Norm: ", norm(A, Inf))
  println("Norm of inverse: ", norm(inv(A), Inf))
  println("Condition number: ", cond(convert(Matrix{Float64}, A)))
  ans = A'\b
  println("True answer: ", ans)

  B = convert(Matrix{Float64}, A)
  c = convert(Vector{Float64}, b)

  println("Linear solve: ", norm((B'\c - ans)./ans, Inf))

  d = vec(c')
  for k=1:n, l=n:-1:k+1
    d[l] -= x[k]*d[l-1]
  end

  for k=n-1:-1:1, l=k:n
    if l > k
      d[l] /= x[l]-x[l-k]
    end
    if l < n
      d[l] -= d[l+1]/(x[l+1] - x[l-k+1])
    end
  end
  println("Neville elimination: ", norm((d-ans)./ans, Inf))

  nothing
end

end

V = VandermondeInverse

Đầu ra:

julia> V.main(14)
Norm: 14.0
Norm of inverse: 1.4285962612120493e10
Condition number: 5.2214922998851654e10
True answer: Rational{Int64}[3202439130233//2916000,-688553801328731//52390800,19139253128382829//261954000,-196146528919726853//785862000,6800579086408939//11642400,-43149880138884259//43659000,32567483200938127//26195400,-7339312362348889//6237000,48767438804485271//58212000,-69618881108680969//157172400,44275410625421677//261954000,-2308743351566483//52390800,11057243346333379//1571724000,-209920276397//404250]
Linear solve: 1.5714609387747318e-8
Neville elimination: 1.3238218572356314e-15

Nếu Xkhông tích cực như trong thử nghiệm này, thì có vẻ như các lỗi tương đối có cùng thứ tự như với một giải pháp tuyến tính thông thường.

$b^\top V^{-1}$$L_i$$L_i(x_j)=\delta_{ij}$$\alpha_{jk}$$L_k$

$$L_k(x) = \sum_{j,k} \alpha_{j,k}x^j = (1,x,x^2,\ldots,x^n)^\top (\alpha_{0k},\ldots,\alpha_{nk}),$$ $L$ $$L = \begin{pmatrix} \alpha_{00}& \cdots & \alpha_{0n}\\\vdots &&\vdots\\ \alpha_{n0}&\cdots&\alpha_{nn} \end{pmatrix}.$$ $L_k$$L$$(1,x,\ldots,x^n)$ $$(1,x,x^2,\ldots,x^n)L = (L_0(x),L_1(x),\ldots,L_n(x)).$$ $L_k(x_j)=\delta_{jk}$ $$\begin{pmatrix} 1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^n\\ \vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^n \end{pmatrix} L = I,$$ $L = V^{-1}$$V$$x_j$

$\int_{-1}^{1}x^k\,\mathrm{d}x = \frac{1+(-1)^k}{k+1}$

$$\int_{-1}^{1}L_k(x)\,\mathrm{d}x = \sum_j \alpha_{jk}\frac{1+(-1)^k}{k+1} = (2,0,\tfrac23,0,\tfrac25,0,\ldots)^\top (\alpha_{0k},\ldots,\alpha_{nk}).$$ $n+1$$k=0\ldots n$$(2,0,\tfrac23,0,\ldots)^\top L$$L=V^{-1}$

Tính toán các sản phẩm của người đề cử và mẫu số trước rồi chia một lần. Hai sản phẩm phải có cùng độ lớn, do đó không có lỗi làm tròn đáng kể. Ngoài ra, bạn nhận được lợi ích gia tăng của tốc độ tăng, do số lượng tính toán dấu phẩy động giảm.