Ví dụ về tính toán PDE sử dụng song song trong cả không gian và thời gian

Trong giải pháp số của các PDE giá trị biên ban đầu, rất phổ biến để sử dụng song song trong không gian . Nó là ít phổ biến hơn nhiều để sử dụng một số hình thức song song trong thời gian rời rạc , và rằng song song thường hạn chế hơn nhiều. Tôi biết về số lượng mã ngày càng tăng và các tác phẩm được xuất bản thể hiện sự song song theo thời gian, nhưng không có mã nào bao gồm song song không gian.

Có ví dụ về việc thực hiện bao gồm song song trong cả không gian và thời gian không? Tôi quan tâm đến cả ấn phẩm và mã có sẵn.

Các thuật toán PFASST (Parallel Full xấp xỉ trong không gian và thời gian) và PEPC (Khá hiệu quả song song Coulomb) gần đây đã được sử dụng cùng nhau để đạt được sự song song trong cả không gian và thời gian.

PFASST thực hiện song song thời gian, PEPC thực hiện song song không gian. Kết quả của điều này đã được trình bày gần đây tại hội nghị DD21 và chúng tôi đã chuẩn bị một bản đệ trình cho SC12 mô tả sự kết hợp của PFASST + PEPC.

Một vấn đề "nhỏ" bao gồm 4 triệu hạt (PEPC là bộ giải cơ thể N song song) đã được hiển thị để mở rộng tới 8192 lõi trên JUGENE chỉ sử dụng PEPC (nghĩa là chỉ song song trong không gian). Ngoài ra, chi phí truyền thông trở nên đáng kể và hiệu quả song song bắt đầu suy giảm. Việc bổ sung PFASST cho phép vấn đề có kích thước cố định này được chạy trên 262.144 lõi (nghĩa là chúng tôi đã lấp đầy JUGENE) bằng cách sử dụng bộ xử lý 32 "thời gian" (mỗi lõi bao gồm 8192 lõi "không gian").

Mặc dù hiệu suất song song của các thuật toán song song thời gian không phải là 100%, chúng tôi có thể đạt được tốc độ tăng khoảng 6,5 lần bằng cách sử dụng 32 bộ xử lý PFASST với cấu hình PFASST + PEPC này.

Đây là một liên kết đến một bản in sẵn: Một bộ giải N-body song song không gian thời gian

Ngoài ra còn có DG không gian và phương pháp Galerkin liên tục. Sau khi lựa chọn phương trình bậc hai, DG không gian thời gian với lưới có cấu trúc theo hướng thời gian tương đương với phương pháp Runge - Kutta ẩn. Tuy nhiên, phương pháp DG không gian cho phép các kích thước bước khác nhau trong các phần khác nhau của miền, một trường hợp khó phân tích cho các phương thức RK ẩn. Các phương pháp multigrid không-thời gian cũng có thể được áp dụng trong bối cảnh này.

Khi bạn xem xét song song không gian thời gian, tên miền phụ là không gian thời gian trên nhiều cấp độ thời gian. Một phương pháp được gọi là thư giãn dạng sóng khai thác các tên miền phụ không gian thời gian nhưng chỉ song song trong không gian (không có phân vùng theo chiều thời gian). Vì vậy, một cartesian của phân vùng không gian và phân vùng thời gian cho một loại song song không gian-thời gian. Bạn có thể tìm thấy một bài báo về một phương pháp cartesian như vậy ở đây . Như Jed Brown đã đề cập trong câu trả lời của mình, phương pháp không-thời gian không chỉ mang lại sự tương đồng linh hoạt hơn mà còn thích ứng cho sự rời rạc. Về chủ đề thứ hai, bạn có thể google các tác phẩm của Schwab, xem thêm dự án của họ . Đối với công việc khai thác cả song song và thích ứng, bạn có thể xem tại trang chủ của R. Haynes .

Hãy xem thuật toán Parareal và các công việc liên quan của nó như hiệu chỉnh quang phổ hoãn lại (một tìm kiếm đơn giản của Google xuất hiện khá nhiều tài liệu). Ý tưởng cơ bản là sử dụng một "lưới" thô trong thời gian và thực hiện bước thời gian thô, nhưng sau đó quay lại và thực hiện các hiệu chỉnh trên thang thời gian tốt hơn. Nó dường như được sử dụng chủ yếu trong các mô phỏng chất lỏng, nhưng tôi đang ở trong lĩnh vực điện từ, vì vậy tôi thực sự không thể nói nhiều hơn về nó. Lý do duy nhất tôi biết về nó là vì tôi đã tham dự một hội thảo về phương pháp điều chỉnh hoãn lại và có vẻ rất thú vị rằng bất kỳ loại song song nào cũng có thể được thực hiện kịp thời.

Phương pháp chụp nhiều lần được sử dụng trong điều khiển tối ưu được thiết kế sao cho các vấn đề phụ trên mỗi khoảng thời gian chụp có thể được giải quyết song song. Tôi không biết các bài báo kết hợp điều này với song song không gian (không có nhiều vấn đề kiểm soát tối ưu đã được giải quyết trong quá khứ khi phương trình là PDE không gian phụ thuộc thời gian) nhưng rõ ràng làm thế nào để thực hiện song song cả không gian và thời gian.