Eigenvector của một điều chỉnh định mức nhỏ

Tôi có một bộ dữ liệu đang dần thay đổi và tôi cần theo dõi các hàm riêng / giá trị riêng của ma trận hiệp phương sai của nó.

Tôi đã sử dụng scipy.linalg.eigh, nhưng nó quá đắt, và nó không sử dụng thực tế là tôi đã có một phân tách chỉ hơi sai.

Bất cứ ai có thể đề nghị một cách tiếp cận tốt hơn để đối phó với vấn đề này?

Một cách tiếp cận ngây thơ là sử dụng giải pháp eigenvalue của ma trận của bạn như đoán ban đầu của một lặp eigensolver cho ma trận A ( t + δ t ) . Bạn có thể sử dụng QR nếu bạn cần toàn bộ phổ hoặc phương thức nguồn khác. Tuy nhiên, đây không phải là một cách tiếp cận hoàn toàn mạnh mẽ, vì các giá trị riêng của ma trận không nhất thiết phải gần với ma trận gần kề (1) , đặc biệt là nếu nó bị điều hòa kém (2) .$A(t)$$A(t + \delta t)$

Một phương pháp theo dõi không gian con rõ ràng là hữu ích hơn (3) . Một đoạn trích từ (4) :

Tính toán lặp của một cặp eigen cực đại (tối đa hoặc tối thiểu) (eigenvalue và eigenvector) có thể có từ năm 1966 [72]. Năm 1980, Thompson đã đề xuất một thuật toán thích ứng loại LMS để ước tính hàm riêng, tương ứng với giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận hiệp phương sai mẫu và cung cấp thuật toán theo dõi thích nghi của kết hợp góc / tần số với công cụ ước lượng hài của Pisarenko [14]. Sarkar và cộng sự. [73] đã sử dụng thuật toán gradient liên hợp để theo dõi sự biến đổi của hàm riêng cực trị tương ứng với giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận hiệp phương sai của tín hiệu thay đổi chậm và chứng minh sự hội tụ nhanh hơn nhiều so với thuật toán LMS của Thompson. Các phương thức này chỉ được sử dụng để theo dõi giá trị cực trị và hàm riêng với ứng dụng hạn chế, nhưng sau đó chúng được mở rộng cho các phương pháp theo dõi và cập nhật không gian con eigen. Năm 1990, Comon và Golub [6] đã đề xuất phương pháp Lanczos để theo dõi giá trị số ít và vectơ số ít, đây là phương pháp phổ biến được thiết kế ban đầu để xác định một số vấn đề eigen đối xứng lớn và thưa thớt [74].$Ax = kx$

[6]: Comon, P., & Golub, GH (1990). Theo dõi một vài giá trị cực nhỏ và vectơ trong xử lý tín hiệu. Đang xử lý của IEEE (trang 1327 Từ1343).

[14]: Thompson, PA (1980). Một kỹ thuật phân tích phổ thích ứng cho tần số không thiên vị

[72]: Bradbury, WW, & Fletcher, R. (1966). Phương pháp lặp mới cho các giải pháp của bản địa. Toán số, 9 (9), 259 trừ266.

[73]: Sarkar, TK, Dianat, SA, Chen, H., & Brule, JD (1986). Ước lượng phổ thích nghi bằng phương pháp gradient liên hợp. Giao dịch của IEEE về Xử lý âm thanh, lời nói và xử lý tín hiệu, 34 (2), 272 Tắt284.

[74]: Tải Golub, GH, & Van, CF (1989). Tính toán ma trận (tái bản lần 2). Baltimore: Nhà xuất bản Đại học John Hopkins.

Tôi cũng nên đề cập rằng các giải pháp cho ma trận đối xứng, chẳng hạn như những gì bạn phải giải quyết khi sử dụng scipy.linalg.eigh, có phần rẻ tiền. Nếu bạn chỉ quan tâm đến một vài giá trị riêng, bạn cũng có thể tìm thấy sự cải thiện tốc độ trong phương pháp của mình. Phương pháp Arnoldi thường được sử dụng trong các tình huống như vậy.

$t^0$$\mathcal{O}(N^3)$$\mathcal{O}(k N^2)$$N$$k$

Dưới đây là một vài tài liệu tham khảo có liên quan:

Sự điều chỉnh thích nghi của ma trận hiệp phương sai dữ liệu dựa trên các nhiễu loạn bậc nhất (Champagne, IEEE TSP 42 (10) 1994)

Cập nhật đệ quy phân rã giá trị riêng của ma trận hiệp phương sai (Yu, IEEE TSP, 39 (5) 1991)

Phân tích thành phần chính trực tuyến theo chiều cao: Chọn thuật toán nào? (Cardot và Degras)

Một thuật toán ổn định và nhanh chóng để cập nhật phân rã giá trị số ít (Gu và Eisenstadt, 1994)