Có một thuật toán hiệu quả cho các phân số tiếp tục có giá trị ma trận không?

Giả sử tôi có một phương trình ma trận được định nghĩa đệ quy là

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

Sau đó, phương trình của A [1] trông tương tự như một phân số tiếp tục, trong đó có một số phương pháp hiệu quả cao để tránh tính toán lại tẻ nhạt (Xem "Bí quyết số" để biết một số ví dụ).

Tuy nhiên, tôi tự hỏi liệu có phương pháp tương tự nào cho phép các hệ số b [n] và [n] là ma trận hay không, với ràng buộc duy nhất là b [n] A [n + 1] là ma trận vuông sao cho ma trận

1 - b[n]A[n+1]

là thực sự không thể đảo ngược.

algorithms

— Lagerbaer
nguồn

Đây là câu hỏi bạn đã hỏi trong toán học. Một vài tháng trước, phải không? Là

A

$A$ hình vuông hoặc hình chữ nhật?

— JM

Tôi nhớ rằng ai đó trong các nhận xét tại math.SE đề nghị tôi hỏi điều này ở đây một khi bản beta trực tuyến :) Trong trường hợp đặc biệt của tôi, A là hình chữ nhật. Các phương trình đệ quy tương ứng với một bộ phương trình phân cấp và số lượng tăng lên với

n

$n$ . Trong trường hợp của tôi, kích thước của A [n] là nx (n-1)

— Lagerbaer

Chỉ tò mò, ứng dụng bạn muốn sử dụng này là gì?

— Hjulle

Rất ngắn gọn, sử dụng danh tính của Dyson cho một Hamilton cụ thể sẽ tạo ra các chức năng của Green mà tôi có thể gắn nhãn với một chỉ số

nhất định . Thu thập tất cả các hàm có cùng chỉ mục vào một vectơ

cho phép tôi viết

bằng cách sử dụng danh tính của Dyson và một xấp xỉ phù hợp. Sử dụng giới hạn sao cho

với mọi

cho phép tôi tìm ma trận

sao cho

N

$N$

V_{N}

$V_N$

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$

V_{N} = 0

$V_N = 0$

n \geq N

$n \ge N$

A_{n}

$A_n$

và các ma trận này được đưa ra bởi phương trình kiểu phân số tiếp tục của tôi. Kỹ thuật này có thể, ví dụ, tính toán các hàm của Green cho các mô hình liên kết chặt chẽ.

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$

— Lagerbaer

Đó không phải là lĩnh vực của tôi, nhưng tôi đã có một thời gian trở lại tại một hội thảo, nơi một cái gì đó liên quan đến vấn đề này đã được trình bày. [Ở đây] [1] là dấu vết duy nhất tôi có thể tìm thấy trên mạng. Tôi thực sự không biết liệu nó có giúp ích gì không. [1]: mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

— user189035

Câu trả lời:

Hai phương pháp sau được đưa ra trong Hàm của ma trận: Lý thuyết và Tính toán của Nicholas Higham, trên trang 81. Các công thức này đánh giá

trong đólà ma trận vuông.

r (X) = b_{0} + \frac{a_{1} X}{b_{1} + \frac{a_{2} X}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X}{b_{2 m}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$

X

$X$

Phương pháp từ trên xuống:

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

cho j = 1: 2m

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

kết thúc

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

Phương pháp từ dưới lên:

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

cho j = 2m − 1: 1: 1

Giải cho . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$

kết thúc

$r_m=b_0I+Y_1$

Câu hỏi yêu cầu đánh giá về hình thức tổng quát hơn

b_{0} + \frac{a_{1} X_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2} X_{2}}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X_{2 m - 1}}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X_{2 m}}{b_{2 m}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

Điều này có thể được đánh giá bằng một khái quát đơn giản của các công thức trên; ví dụ, phương thức từ dưới lên trở thành

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

cho j = 2m − 1: 1: 1

Giải cho . $(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

kết thúc

. $r_m=b_0I+Y_1$

— David Ketcheson
nguồn

Điều này có vẻ rất thú vị. Tôi sẽ xem liệu tôi có thể áp dụng nó cho vấn đề cụ thể của mình không nhưng nó trả lời câu hỏi vì b [n] * A [n + 1] của tôi là một ma trận vuông

— Lagerbaer

X

$X$

Được rồi, tôi đã khái quát nó.

— David Ketcheson

Tôi biết rằng câu trả lời này đưa ra rất nhiều giả định, nhưng ít nhất nó cũng khái quát thuật toán của bạn:

$\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

Một khi chúng ta đã nói phân rã, bằng cảm ứng,

V_{n} = (I - B_{n} V_{n + 1})^{- 1} A_{n} = (I - U Δ_{n} U^{'} U Λ_{n + 1} U^{'})^{- 1} U Ω_{n} U^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

có thể được sắp xếp lại thành các hình thức

V_{n} = U (I - Δ_{n} Λ_{n + 1})^{- 1} Ω_{n} U^{'} \equiv U Λ_{n} U^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

$\Lambda_n$ $\{V_n\}$ $\Lambda_n$ $V_N$

$A_n \equiv \alpha_n I$ $B_n \equiv \beta_n I$ $V_N$

— Jack Poulson
nguồn