Các số liệu thường được sử dụng để định lượng sự bất thường của lưới tam giác

Giả sử bạn có một lưới tam giác trên một mặt phẳng. Điều này đã được rút ra để cuối cùng giải quyết một số vấn đề trong cơ học, ví dụ.

Một lưới các hình tam giác đều là điểm cộng tốt nhất vì khoảng cách giữa các đỉnh và giữa các tâm là giống nhau. Điều này làm cho phép nội suy và tính toán độ dốc trở thành một nhiệm vụ dễ dàng và chính xác. Tuy nhiên, vì các ràng buộc và hoàn cảnh, không phải lúc nào cũng có thể làm việc trên một lưới của tất cả các tam giác đều.

Vì vậy, các câu hỏi liên quan đến một lưới các yếu tố hình tam giác có hình dạng tùy ý.

Liên quan đến các yếu tố lưới cá nhân . Những số liệu nào thường được sử dụng để định lượng sự khác biệt của một tam giác chung từ một số hình dạng cân bằng lý tưởng cơ bản?

Liên quan đến toàn bộ lưới . Những số liệu nào được sử dụng để định lượng sự bất thường của một lưới các hình tam giác tùy ý trên tổng thể? Các số liệu này sẽ chỉ ra mức độ xáo trộn của lưới.

Cảm ơn đã suy nghĩ cùng.

Lưu ý Tất cả các đóng góp từ cộng đồng phần tử hữu hạn đã được đánh giá rất cao. Đối với câu hỏi này, xin lưu ý rằng mối quan tâm là định lượng sự khác biệt hoàn toàn trong hình học (các tam giác tùy ý và tam giác đều). Các ảnh hưởng tiếp theo đối với các lỗi nội suy và điều hòa nằm ngoài phạm vi. Cấp những thứ này có thể sâu sắc và có liên quan, chúng làm phức tạp việc xử lý toán học.

Như @Nicoguaro và @Paul đã nói trong các bình luận cho bài đăng câu hỏi, có rất nhiều cách để làm điều này, và tôi không chắc có cách tiếp cận "tốt nhất" nào không.

Từ một nghiên cứu đánh giá của Jonathan Richard Shewchuck tại Berkley, một câu trả lời là:

Vui lòng tham khảo tài liệu gốc (phiên bản 31/12/2002) để biết về ký hiệu, thuật ngữ, các tính năng đặc biệt và có thể hơn thế nữa (ví dụ tứ diện). Chương 6 là về các biện pháp chất lượng. Tài liệu được liên kết đến là phiên bản mở rộng và trong trang web của JRS cũng có một bản tóm tắt.

Cá nhân, tôi là một fan hâm mộ của số liệu "độ dài âm lượng". Đây là một chỉ số vô hướng mạnh mẽ tốt về chất lượng đơn giản (đẳng hướng) và rẻ tiền để tính toán. Trong hai chiều:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$a < $a=1$$a < 0$

Để khẳng định chất lượng của một tam giác không có cấu trúc, điển hình là xem xét biểu đồ của các số liệu chất lượng phần tử như vậy. Có rất nhiều triển khai những thứ như vậy ngoài kia, nhưng một MATLABcơ sở mã thẳng của tôi ở đây .

Ngoài các điểm có độ dài âm lượng, biểu đồ của các góc phần tử và mức độ đỉnh cũng được tính theo mặc định.

Tôi không nghĩ rằng có một câu trả lời cho câu hỏi này nói chung , bởi vì tất cả phụ thuộc vào mục đích sử dụng cho lưới. Ví dụ, nếu bạn đang thực hiện động lực học chất lỏng tính toán, bạn có thể muốn có một lưới cực kỳ dị hướng gần lớp biên. Bây giờ nếu bạn đang thực hiện điện từ tính toán, lưới tốt nhất có lẽ sẽ hoàn toàn khác.

Trong tài liệu có nhiều định nghĩa khác nhau cho tiêu chí "chất lượng lưới". Hầu hết trong số họ sẽ ủng hộ các mắt lưới với hình tam giác càng bằng nhau càng tốt. Người ta cũng có thể đề cập đến ý tưởng tối đa hóa góc nhỏ nhất (được thực hiện bằng phép tam giác Delaunay cho một tập hợp các điểm cố định). Điều này được chứng minh bằng phân tích của Jonathan Shewchuk được đề cập trong một trong các ý kiến, liên quan đến góc này với số điều kiện của ma trận độ cứng cho phương trình Laplace bị rời rạc với các phần tử P1, nhưng một lần nữa, tùy thuộc vào mục đích sử dụng, lưới tốt của ai đó có thể là ai đó lưới khác nghèo.

Tôi không nghĩ rằng việc "định lượng sự khác biệt hoàn toàn trong hình học (tam giác tùy ý và tam giác đều") là hợp lý: trước khi đo xem các tam giác có bằng nhau hay không và quyết định xem "độ lệch wrt Equality" là gì là tốt nhất, cần phải tìm ra liệu "tam giác đều" có phải là điều chúng ta muốn hay không và không phải lúc nào cũng như vậy! Tất cả xuất phát từ "nội suy và điều hòa" mà bạn đề cập. Đúng, như bạn đã nói "nó làm phức tạp việc xử lý toán học" nhưng không có nó, không thể tạo ra sự khác biệt giữa các tiêu chí khách quan cho một ứng dụng nhất định và các tiêu chí hoàn toàn không có ý nghĩa.