Tại sao chiều thời gian đặc biệt?

Nói chung, tôi đã nghe các nhà phân tích số nói lên ý kiến ​​rằng

"Tất nhiên, về mặt toán học, thời gian chỉ là một chiều khác, nhưng vẫn có thời gian là đặc biệt"

Làm thế nào để biện minh cho điều này? Theo nghĩa nào là thời gian đặc biệt cho khoa học tính toán?

Hơn nữa, tại sao chúng ta thường thích sử dụng các khác biệt hữu hạn, (dẫn đến "bước thời gian"), cho chiều thời gian, trong khi chúng ta áp dụng các khác biệt hữu hạn, các yếu tố hữu hạn, phương pháp quang phổ, ..., cho các kích thước không gian? Một lý do có thể là chúng ta có xu hướng IVP theo chiều thời gian và BVP ở các chiều không gian. Nhưng tôi không nghĩ rằng điều này hoàn toàn biện minh cho nó.

Nhân quả chỉ ra rằng thông tin chỉ chảy về phía trước theo thời gian và các thuật toán nên được thiết kế để khai thác thực tế này. Đề án bước thời gian làm điều này, trong khi các phương pháp phổ thời gian toàn cầu hoặc các ý tưởng khác thì không. Câu hỏi tất nhiên là tại sao mọi người cứ khăng khăng khai thác sự thật này - nhưng điều đó thật dễ hiểu: nếu vấn đề không gian của bạn đã có hàng triệu ẩn số và bạn cần thực hiện 1000 bước thời gian, thì trên một máy điển hình ngày nay bạn có đủ tài nguyên để giải quyết vấn đề không gian tự nó xuất hiện một dấu thời gian khác, nhưng bạn không có đủ nguồn lực để giải quyết vấn đề liên quan đến ẩn số.$10^9$

Tình hình thực sự không khác lắm so với những gì bạn có với sự phân biệt không gian của các hiện tượng vận chuyển. Chắc chắn, bạn có thể loại bỏ một phương trình tiến 1d thuần túy bằng cách sử dụng phương pháp kết hợp toàn cầu. Nhưng nếu bạn quan tâm đến hiệu quả, thì cách tiếp cận tốt nhất là sử dụng quét xuôi dòng mang thông tin từ dòng chảy đến phần chảy ra của miền. Đó chính xác là những gì các kế hoạch bước thời gian làm trong thời gian.

Tương tự như quan hệ nhân quả mà Wolfgang đã đề cập trong bài đăng của mình, chúng ta có thể thấy lý do tại sao chiều thời gian lại đặc biệt theo quan điểm không thời gian của Minkowski:$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Không thời gian hai chiều có một sản phẩm bên trong được xác định là nếu và là hai 1- hình thức trong không thời gian Minkowski: , được định nghĩa theo kiểu tương tự, trực giác đằng sau việc xác định một sản phẩm bên trong (hay nói đúng hơn là số liệu) là áp đặt ý tưởng về tốc độ ánh sáng tuyệt đối, sao cho hai điểm (sự kiện) khác nhau trong không thời gian có khoảng cách bằng không (xảy ra cùng lúc ", giống như chúng ta đang quan sát chuyển động của các thiên hà cách xa hàng tỷ ánh sáng như thể chúng đang di chuyển. ngay bây giờ) nếu chúng ở trên cùng một hình nón ánh sáng.( A , B ) = A x B x + A y B y + A z B z - $(3+1)$ABA=Axdx+Aydy+Azdz+Atdt

Như bạn có thể thấy, sản phẩm bên trong này không xác định dương do sự hiện diện của chiều thời gian được đo bằng tốc độ ánh sáng , do đó, theo trực giác, khi xử lý một vấn đề liên quan đến một lượng truyền trong không thời gian, chúng ta không thể đơn giản áp dụng các định lý trong 3 số liệu Euclide hai chiều đến một không thời gian hai chiều , chỉ cần nghĩ về các lý thuyết PDE hình elip 3 chiều và các phương pháp số tương ứng của chúng khác nhau rất nhiều so với các lý thuyết PDE hyperbolic. ( 3 + 1 $c$$(3+1)$

Có thể ngoài chủ đề, nhưng một sự khác biệt lớn khác của không gian so với không thời gian (elip so với hyperbolic) là hầu hết các phương trình elip mô hình trạng thái cân bằng và elip cho chúng ta tính "đều đặn", trong khi có tất cả các loại không liên tục trong các vấn đề hyperbol (sốc, hiếm khi xảy ra, v.v.)

EDIT: Tôi không biết có một bài viết chuyên dụng về sự khác biệt ngoài việc đưa ra định nghĩa cho bạn, dựa trên những gì tôi đã học trước đây, phương trình elip điển hình như phương trình Poisson hoặc độ co giãn, mô hình một hiện tượng tĩnh, có giải pháp "trơn tru" nếu dữ liệu và ranh giới của miền quan tâm là "trơn tru", điều này là do tính chất elip (hay đúng hơn là nói thuộc tính xác định dương) của toán tử vi phân quản trị, loại phương trình này dẫn chúng ta đến một cách tiếp cận kiểu Galerkin rất trực quan (nhân một hàm kiểm tra và tích hợp bởi các bộ phận), phần tử hữu hạn liên tục điển hình hoạt động tốt. Những điều tương tự áp dụng cho phương trình parabol như phương trình nhiệt, về cơ bản là một phương trình elip diễu hành theo thời gian, có tính chất "làm mịn" tương tự, một góc nhọn ban đầu sẽ được làm nhẵn theo thời gian,

Đối với một vấn đề hyperbol, thường xuất phát từ luật bảo tồn, là "bảo thủ" hoặc "phân tán". Ví dụ, phương trình tiến tuyến tính, mô tả các dòng lượng nhất định với trường vectơ, bảo toàn số lượng cụ thể này ban đầu như thế nào, chỉ cần nó di chuyển không gian dọc theo trường vectơ này, sự không liên tục sẽ lan truyền. Phương trình Schrodinger, một phương trình hyperbol khác, tuy nhiên, có tính phân tán, đó là sự lan truyền của một đại lượng phức tạp, trạng thái ban đầu không dao động sẽ trở thành các gói sóng dao động khác nhau theo thời gian.

Như bạn đã đề cập đến "bước thời gian", bạn có thể nghĩ rằng "dòng chảy" trong "trường" thời gian với vận tốc nhất định là nhân quả, rất giống với phương trình tiến tuyến tính BVP, chúng ta chỉ phải áp dụng điều kiện biên giới hạn, tức là, đại lượng sẽ như thế nào khi chảy vào miền quan tâm và giải pháp sẽ cho chúng ta biết đại lượng đó như thế nào khi chảy ra, một ý tưởng rất giống với mọi phương pháp sử dụng bước thời gian. Giải phương trình tiến lên 2D trong không gian cũng giống như giải bài toán lan truyền một phía 1D trong không thời gian. Đối với các sơ đồ số, bạn có thể google về FEM không thời gian.

Mặc dù có một số trường hợp ngoại lệ (ví dụ: các phương pháp phần tử hữu hạn hoàn toàn rời rạc), sự rời rạc theo thời gian thường bao hàm sự phụ thuộc tuần tự vốn có trong dòng thông tin. Sự phụ thuộc này hạn chế các thuật toán bán rời (BVP trong không gian, IVP kịp thời) để tính toán các giải pháp cho các bài toán con theo cách liên tiếp. Sự rời rạc này thường được ưa thích vì tính đơn giản của nó và vì nó cung cấp cho nhà phân tích nhiều thuật toán được phát triển tốt để có độ chính xác cao hơn cả về không gian và thời gian.

Cũng có thể (và đơn giản hơn) sử dụng các khác biệt hữu hạn về kích thước không gian, nhưng các phương pháp phần tử hữu hạn cung cấp tính linh hoạt dễ dàng hơn trong loại miền quan tâm (ví dụ: hình dạng không đều) so với phương pháp sai phân hữu hạn. Một sự lựa chọn "tốt" của sự phân biệt không gian thường phụ thuộc rất nhiều vào vấn đề.