Chọn định mức nào khi nào?

Gần đây, tôi thấy câu hỏi này: làm thế nào để đo lỗi của phương pháp sai phân hữu hạn

Tôi là sinh viên khoa học mô phỏng và thật không may, đối với tôi, nó hoàn toàn không rõ ràng, sử dụng chuẩn mực nào trong bối cảnh nào.

Rất thường xuyên, chúng tôi sử dụng định mức Euclidian hoặc định mức L2, nhưng tại sao người ta chọn các định mức khác nhau, ý nghĩa của chúng bên cạnh định nghĩa toán học / toán học là gì? Hay chính xác hơn: lý do để sử dụng một định mức cụ thể trong bối cảnh cụ thể là gì?

$H^1$$H^1$$W^{1,\infty}$$X$$X=W^{1,\infty}$$Y$$Y=H^1$$X\subset Y$

$Z$$Z\supset Y$$L_2$$L_2$$\int E(x)^2 \; dx$$L_2$$L_2$$L_1$$L_2$

Định mức Euclide thường được sử dụng dựa trên giả định rằng khoảng cách Euclide của hai điểm là thước đo khoảng cách hợp lý. Nhưng trừ khi đây là trường hợp, sự lựa chọn này không thích hợp hơn cho sự lựa chọn phù hợp với vấn đề. Ví dụ, nếu kích thước điển hình của các thành phần của vectơ rất khác nhau (vì chúng có nghĩa là những thứ rất khác nhau), thì chỉ tiêu Euclide rất kém vì nó hầu như không tính đến tác động của những thay đổi trong các thành phần kích thước nhỏ. Trong trường hợp như vậy, trước tiên, người ta cần phải chia tỷ lệ các vectơ để có các thành phần có kích thước tương tự trước khi áp dụng các định mức hoặc người ta phải sử dụng một định mức chia tỷ lệ các thành phần khác nhau.

$\|x\|$$x$$\|x_k−x\|\to 0$$\lim x_k=x$

Do đó, người ta phải chọn một tiêu chuẩn có ý nghĩa để có được kết quả có ý nghĩa.

Trong các không gian vô hạn (đặc biệt bao gồm các không gian chức năng chung), các định mức không còn tương đương và các quy tắc khác nhau có thể dẫn đến các cấu trúc liên kết khác nhau. Bây giờ người ta phải chọn một tiêu chuẩn phù hợp ngay cả để có được kết quả hữu hạn, và các điều khoản ràng buộc có thể là không thể với sự lựa chọn tốt của định mức.

Như một bài tập, tôi muốn đề nghị bạn so sánh các giá trị của -norm với cho nhiều loại vectơ trong tham số hóa bởi và thực hiện tương tự trong nhiều không gian khác nhau của chuỗi . Sau đó, bạn sẽ đánh giá cao sự khác biệt. Một ví dụ điển hình là vectơ với mục , trong đó . Ở đây cho nhỏ và lớn (xấp xỉ tổng bằng một tích phân) , trở thành vô hạn lớn bằng khi$p$$p=1,2,\infty$$R^n$$n$$x=(x_1,x_2,\dots)$$i$$x_i=\epsilon/i^s$$s>0$$\epsilon$$n$$\|x\|_p\approx \epsilon\frac{1-1/n^{ps-1}}{ps-1}$$n\to\infty$$p\le 1/s$nhưng vẫn còn nhỏ khi .$p>1/s$

Một vài nhận xét:

Nói chung, định mức bạn chọn phụ thuộc vào những gì bạn muốn đo. Nó là đơn giản.

Đối với pde số, -norm có đặc tính thuận tiện là cung cấp cấu trúc không gian Hilbert. Một lý do tự nhiên để sử dụng định mức này xuất phát từ việc xử lý các lỗi đo lường, như được mô tả trong https://scicomp.stackexchange.com/a/2763/238 . Tôi không biết liệu có những lý do khác nằm ngoài tính khả thi toán học.$L^2$

Các -norm được sử dụng khi bạn muốn khẳng định tối đa bị ràng buộc về lỗi "pointwise". Việc thể hiện không gian kép của bằng các hàm có -norm hữu hạn là điều tự nhiên .$L^\infty$$L^\infty$$L^1$

Các -orms khác được sử dụng trong PDE phi tuyến và các chỉ tiêu Sobolev là sự khái quát hóa đơn giản của không gian nếu bạn muốn điều khiển một hàm và các đạo hàm tổng quát của nó.$L^p$$L^p$