Không gian bội số Lagrange quá phong phú trong quan điểm toán học

Lý lịch:

Phương pháp số nhân Lagrange đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như các vấn đề tiếp xúc, giao diện vật liệu, chuyển đổi pha, ràng buộc cứng hoặc trượt dọc theo giao diện.
Người ta biết rằng một lựa chọn hoặc thiết kế không gian số nhân Lagrange sẽ tạo ra kết quả dao động (vấn đề không ổn định) trên số nhân Lagrange. Một lượng lớn tài liệu đã minh họa cho quan sát này và một số sửa đổi hoặc cải tiến đã được thực hiện để loại bỏ các dao động thường phát sinh do sai lệch của điều kiện inf-sup.

Câu hỏi:

Khi đọc tài liệu trên XFEM, tôi đã bắt gặp đối số dưới đây được tô màu đỏ, khá là toán học. Làm thế nào để giải thích hoặc hiểu không gian quá cục bộ và do đó, điều kiện inf-sup vi phạm? Cảm ơn sự đóng góp.

$$\begin{bmatrix} A & B^T \\ B \end{bmatrix},$$ $A$$B$

$B$$B$

Krendl, Wolfgang, Valeria Simoncini và Walter Zulehner. "Ước tính ổn định và tính chất phổ cấu trúc của các vấn đề điểm yên." Numerische Mathematik 124.1 (2013): 183-213. https://arxiv.org/pdf/1202.3330.pdf

$B$

$B$

$$B = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ & 1/2 & 1/2 \\ & & 1/2 & 1/2 \\ &&& \ddots& \ddots \end{bmatrix}$$

$B$

$$\underbrace{\begin{bmatrix}1 & -1 & 1 & -1 &\dots\end{bmatrix}}_{\text{large norm}} ~B = \underbrace{\begin{bmatrix}1/2 & 0 & 0 & 0 & \dots\end{bmatrix}}_{\text{small norm}}$$

$B$

Mỗi số nhân Lagrange tương ứng với một ràng buộc. Vì vậy, nếu không gian của số nhân Lagrange quá lớn, thì bạn có quá nhiều ràng buộc không thể thỏa mãn cùng một lúc mà không hạn chế đáng kể số lượng ẩn số bạn có sẵn để đáp ứng vật lý của vấn đề. Đây là những gì xảy ra trong khóa: mỗi ràng buộc làm giảm số lượng ẩn số một và bạn kết thúc với quá ít ẩn số để chính xác về mặt vật lý.