Các tiêu chí để lựa chọn giữa các yếu tố hữu hạn và các yếu tố hữu hạn là gì

Tôi đã quen nghĩ về sự khác biệt hữu hạn như một trường hợp đặc biệt của các phần tử hữu hạn, trên một lưới rất hạn chế. Vậy các điều kiện về cách chọn giữa Phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) và Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là phương pháp số?

Về phía Phương pháp khác biệt hữu hạn (FDM), người ta có thể tính rằng chúng đơn giản hơn về mặt khái niệm và dễ thực hiện hơn Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). FEM có lợi ích là rất linh hoạt, ví dụ, các lưới có thể không đồng nhất và các miền có thể có hình dạng tùy ý.

Ví dụ duy nhất tôi biết FDM đã vượt trội so với FEM là ở Celia, Bouloutas, Zarba , trong đó lợi ích là do phương pháp FD sử dụng một dẫn xuất thời gian khác nhau, tuy nhiên, có thể được sửa cho phương pháp phần tử hữu hạn .

Có thể viết các phương pháp sai phân hữu hạn cụ thể nhất như các phương pháp phần tử hữu hạn Petrov-Galerkin với một số lựa chọn tái cấu trúc cục bộ và cầu phương, và hầu hết các phương pháp phần tử hữu hạn cũng có thể được hiển thị tương đương với một số phương pháp sai phân hữu hạn. Do đó, chúng ta nên chọn một phương pháp dựa trên khung phân tích mà chúng ta muốn sử dụng, thuật ngữ nào chúng ta muốn, hệ thống nào cho khả năng mở rộng mà chúng ta thích và cách chúng ta muốn cấu trúc phần mềm. Các khái quát sau đây đúng trong phần lớn các biến thể trong sử dụng thực tế, nhưng nhiều điểm có thể bị phá vỡ.

Sự khác biệt hữu hạn

Ưu

• thực hiện hiệu quả miễn phí cầu phương
• độc lập tỷ lệ khung hình và bảo tồn cục bộ cho các sơ đồ nhất định (ví dụ MAC cho dòng chảy không thể nén)
• phương pháp phi tuyến mạnh mẽ để vận chuyển (ví dụ ENO / WENO)
• Ma trận M cho một số vấn đề
• nguyên tắc tối đa riêng biệt cho một số vấn đề (ví dụ như sự khác biệt hữu hạn bắt chước)
• ma trận khối (thường nhận dạng)
• dư lượng nút rẻ tiền cho phép đa tuyến hiệu quả (FAS)
• Máy làm mịn Vanka thông minh cho máy làm mịn không ma trận hiệu quả cho dòng chảy không bị nén

Nhược điểm

• khó thực hiện "vật lý" hơn
• lưới so le đôi khi khá kỹ thuật
• cao hơn thứ hai trên lưới không có cấu trúc là khó khăn
• không có tính trực giao của Galerkin, vì vậy việc hội tụ có thể khó chứng minh hơn
• không phải là một phương pháp Galerkin, vì vậy sự rời rạc và điều chỉnh không đi lại (liên quan đến các vấn đề tối ưu hóa và nghịch đảo)
• các vấn đề liên tục tự điều chỉnh thường mang lại ma trận không đối xứng
• giải pháp chỉ được xác định theo chiều hướng, do đó, việc xây dựng lại tại các vị trí tùy ý không được xác định duy nhất
• điều kiện biên có xu hướng phức tạp để thực hiện
• hệ số không liên tục thường làm cho các phương thức đặt hàng đầu tiên
• stprint phát triển nếu vật lý bao gồm "thuật ngữ chéo"

Phần tử hữu hạn

Ưu

• Tính trực giao của Galerkin (giải pháp rời rạc cho các vấn đề cưỡng chế nằm trong một hằng số của giải pháp tốt nhất trong không gian)
• linh hoạt hình học đơn giản
• Galerkin không liên tục cung cấp thuật toán vận chuyển mạnh mẽ, thứ tự tùy ý trên các lưới không có cấu trúc
• $L^2$
• dễ dàng thực hiện các điều kiện biên
• có thể chọn tuyên bố bảo tồn bằng cách chọn không gian thử nghiệm
• rời rạc và điều chỉnh đi lại (đối với phương pháp Galerkin)
• nền tảng thanh lịch trong phân tích chức năng
• ở mức cao, các hạt nhân địa phương có thể khai thác cấu trúc sản phẩm tenor bị thiếu với FD
• Phương pháp bậc hai lobatto có thể làm cho các phương pháp tiết kiệm năng lượng (giả sử tích hợp thời gian đối xứng)
• độ chính xác thứ tự cao ngay cả với các hệ số không liên tục, miễn là bạn có thể căn chỉnh theo ranh giới
• hệ số không liên tục bên trong các yếu tố có thể được cung cấp với XFEM
• dễ dàng xử lý nhiều điều kiện inf-sup

Nhược điểm

• nhiều yếu tố gặp khó khăn ở tỷ lệ khung hình cao
• FEM liên tục gặp sự cố với vận chuyển (SUPG là khuếch tán và dao động)
• DG thường có nhiều bậc tự do hơn cho cùng độ chính xác (mặc dù HDG tốt hơn nhiều)
• FEM liên tục không cung cấp các vấn đề về nút giá rẻ, vì vậy các máy làm mịn phi tuyến có hằng số kém hơn nhiều
• thường là nhiều khác không trong ma trận lắp ráp
• phải chọn giữa ma trận khối lượng nhất quán (một số thuộc tính đẹp, nhưng có nghịch đảo hoàn toàn, do đó yêu cầu giải quyết ngầm cho mỗi bước thời gian) và ma trận khối gộp.

Câu hỏi này có thể quá rộng để có một câu trả lời có ý nghĩa. Hầu hết những người trả lời sẽ chỉ quen thuộc với một số tập hợp con của tất cả các loại phân biệt FD và FE có thể được sử dụng. Lưu ý rằng cả FD và FE

• có thể được thực hiện trên cấu trúc hoặc không có cấu trúc lưới (xem bài viết này cho chỉ là một ví dụ về một phương pháp FD trên một lưới phi cấu trúc)
• có thể được mở rộng đến mức độ chính xác cao tùy ý (theo nhiều cách!)
• có thể được sử dụng để phân biệt trong không gian và / hoặc trong thời gian , có thể kết hợp
• sử dụng các hàm cơ sở cục bộ hoặc toàn cầu (dẫn đến các phương pháp phổ của cả hai loại FD và FE)
• có thể dựa trên một không gian chức năng liên tục hoặc không liên tục
• có thể rõ ràng về không gian hoặc ẩn
• có thể rõ ràng tạm thời hoặc ẩn

Bạn có được ý tưởng. Tất nhiên, trong một chuyên ngành cụ thể, các phương thức FD và FE mà mọi người thường thực hiện và sử dụng có thể có các tính năng rất khác nhau. Nhưng điều này thường không phải do bất kỳ giới hạn vốn có của hai phương pháp tiếp cận riêng biệt.

Về các sơ đồ FD của thứ tự cao tùy ý: các hệ số của các sơ đồ FD bậc cao có thể được tạo tự động cho bất kỳ đơn hàng nào; xem cuốn sách của LeVeque , ví dụ. Các phương thức sắp xếp phổ, là các phương thức FD, sẽ hội tụ nhanh hơn bất kỳ công suất nào của khoảng cách lưới; xem cuốn sách của Trefethen chẳng hạn.

Ưu điểm của các yếu tố hữu hạn (FE):

• phương pháp biến thiên (ví dụ năng lượng luôn giảm khi tăng "p" cho phương trình Schroedinger, điều này không đúng với FD)
• chính xác ở các đơn hàng cao (p = 50 thêm nữa)
• một khi được thực hiện, rất dễ thực hiện việc hội tụ có hệ thống cả trong "p" và "h" (trái ngược với việc có các sơ đồ FD đặc biệt cho mỗi đơn hàng)

Ưu điểm của sự khác biệt hữu hạn (FD):

• dễ dàng thực hiện hơn cho các đơn hàng thấp hơn
• có thể nhanh hơn FE cho độ chính xác thấp hơn

Đôi khi mọi người nói "sự khác biệt hữu hạn" có nghĩa là một nhà tích hợp cho ODE như Runge-Kutta hoặc phương pháp Adams. Trong trường hợp đó, có một lợi thế khác của FD:

• có thể giải quyết ODE phi tuyến trực tiếp

trong khi FE cần một số lần lặp phi tuyến như phương pháp Newton.

Một số câu trả lời hay đã nêu lên Ưu điểm của các phương pháp phần tử hữu hạn là linh hoạt và mạnh mẽ, ở đây tôi sẽ đưa ra một lợi thế khác của FEM, từ quan điểm hình học không gian Sobolev, là khả năng không gian phần tử hữu hạn thừa hưởng điều kiện liên tục vật lý của Không gian Sobolev nơi giải pháp thực sự nằm trong.

Ví dụ, phần tử mặt Raviart-Thomas cho độ đàn hồi của mặt phẳng và phương pháp hỗn hợp để khuếch tán; Phần tử cạnh Nédélec cho điện từ tính toán.

$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

phạm vi của toán tử là không gian rỗng của toán tử tiếp theo và có nhiều thuộc tính đẹp về điều này, nếu chúng ta có thể xây dựng một không gian phần tử hữu hạn để kế thừa chuỗi chính xác de Rham này, thì phương thức Galerkin dựa trên không gian phần tử hữu hạn này sẽ ổn định và sẽ hội tụ đến giải pháp thực sự. Và chúng ta có thể có được tính ổn định và tính gần đúng của toán tử nội suy chỉ bằng sơ đồ đi lại từ trình tự de Rham, cộng với chúng ta có thể xây dựng một ước lượng lỗi posteriori và quy trình tinh chỉnh lưới thích ứng dựa trên trình tự này.

Để biết thêm về điều này, vui lòng xem bài viết của Douglas Arnold trong Acta Numerica: " Tính toán bên ngoài phần tử hữu hạn, kỹ thuật tương đồng và ứng dụng " và một slide giới thiệu ngắn gọn về ý tưởng

Điều quan trọng là phải phân biệt giữa các sơ đồ không gian và thời gian.

Các phần tử hữu hạn thường sử dụng các khác biệt hữu hạn để tích hợp các thuật ngữ tạm thời (ví dụ Euler rõ ràng, ẩn, Crank-Nicholson hoặc Runga Kutta để khuếch tán thoáng qua) và các phần tử hữu hạn để phân biệt không gian.

Các phần tử hữu hạn cho vay độc đáo với các mắt lưới không đều. Chúng có thể dựa trên các nguyên tắc đa dạng, nhưng chúng thường được khái quát hóa bằng phương pháp dư lượng có trọng số. Thật dễ dàng để phát triển các thư viện của các phần tử sử dụng các thứ tự đa thức khác nhau và thực thi các ràng buộc như không thể nén bằng cách sử dụng các số nhân Lagrange.

Cả hai công thức là phương tiện để kết thúc: biểu thị một phương trình vi phân theo các hệ phương trình và đại số tuyến tính.

Các tuyên bố về tốc độ của một phương pháp so với một phương pháp khác cần phải đủ điều kiện bằng cách mô tả thuật toán. Ví dụ, đúc các bài toán cơ học như các bài toán động lực học hyperbol có thể cho kết quả nhanh hơn trong một số trường hợp, vì chúng thay thế phân rã ma trận bằng phép nhân và phép cộng.

Tôi sẽ thừa nhận rằng tôi biết nhiều về các phương pháp phần tử hữu hạn hơn là sự khác biệt hữu hạn. FEM có sẵn trong các gói thương mại và được sử dụng rộng rãi trong ngành công nghiệp và học viện để giải quyết các vấn đề trong cơ học rắn và truyền nhiệt. Tôi tin rằng sự khác biệt hữu hạn hoặc phương pháp thể tích hữu hạn được sử dụng trong động lực học chất lỏng tính toán.