Phân rã Eigenvalue của tổng: A (đối xứng) + D (đường chéo)

Giả sử là một ma trận đối xứng thực và phân rã giá trị riêng của nó được đưa ra. Thật dễ dàng để xem điều gì xảy ra với giá trị riêng của tổng trong đó là hằng số vô hướng (xem câu hỏi này ). Chúng ta có thể rút ra bất kỳ kết luận nào trong trường hợp chung trong đó là ma trận đường chéo tùy ý không? Cảm ơn. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

Trân trọng,

Ivan

linear-algebra

— Ivan
nguồn

Bạn có thể nhận được câu trả lời tốt hơn nếu bạn chỉ định loại kết luận nào bạn quan tâm.

— David Ketcheson

@DavidKetcheson, vâng, bạn hoàn toàn đúng. Trên thực tế, tôi đang cố gắng tìm ra một cách hiệu quả để tính toán một chuỗi các số mũ ma trận có dạng trong đó cố định và là ma trận đường chéo. Tôi đã hy vọng thực hiện phân tách eigenvalue của chỉ một lần và sau đó sử dụng nó bằng cách nào đó để tính đến sự hiệu chỉnh được đưa ra bởi ma trận đường chéo. Thật không may, và không đi lại nói chung, vì vậy . Tôi sẽ biết ơn nếu bạn có thể chia sẻ bất kỳ ý tưởng về nó. Cảm ơn.

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$

— Ivan

Điều này có liên quan đến scicomp.stackexchange.com/questions/503/ trộm

— Geoffrey Irving

Câu trả lời:

Người ta có thể nói rất ít, ngoại trừ chung chung như rằng giá trị riêng thay đổi liên tục với các mục của . $D$

Bạn có thể thấy bằng cách tính toán tượng trưng trong trường hợp 2 by 2 mà không có gì mạnh mẽ có thể được mong đợi.

— Arnold Neumaier
nguồn

Cảm ơn bạn đã trả lời, tôi biết tôi sẽ nghe một cái gì đó như thế này. Tôi có thể vui lòng yêu cầu bạn có một cái nhìn vào nhận xét của tôi ở trên.

— Ivan

sự phức tạp của việc tính toán theo cấp số nhân ma trận và tính toán của một hệ số phổ là như nhau. Vì vậy, không có giải pháp đơn giản. Tuy nhiên, những gì bạn có thể làm trong trường hợp ma trận đường chéo của bạn nằm trong không gian con lowD, để tính phần có liên quan của hàm mũ (hoặc thực tế, bất cứ điều gì bạn muốn tính toán từ nó) cho một số lựa chọn cụ thể được phân phối tốt trong không gian của bạn các giá trị mong muốn và sau đó sử dụng thuật toán nội suy để tính gần đúng tất cả các giá trị khác.

— Arnold Neumaier

Vâng, tôi biết rằng phân rã quang phổ không rẻ, điều tôi muốn nói là nếu việc phân tách như vậy chỉ cần được thực hiện một lần cho (đã thực hiện điều này, chỉ đơn giản là ) và tất cả số mũ với có thể bằng cách nào đó có nguồn gốc từ phân tách đơn này, sau đó sẽ hợp lý khi sử dụng nó. Nếu không, tôi khá tích cực rằng nó là một sự lãng phí thời gian. Cảm ơn lời đề nghị về nội suy, tôi cần đọc một chút về nó.

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

— Ivan

Tôi đã có ý nói nếu có một cách rẻ hơn để tính toán theo cấp số nhân khi thay đổi, thì cũng sẽ có một cách cho vấn đề eigenvalue. Nhưng không có một.

D

$D$

— Arnold Neumaier

Ming Gu và Stanley C. Eisenstat đã nghiên cứu vấn đề này trước đây, xem liên kết: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Bài viết này giải quyết vấn đề hoán vị hạng một, không thể giải quyết vấn đề ở đây. Nếu bất cứ ai gặp vấn đề hoán vị cấp một, nó sẽ giúp.

— bầu trời
nguồn

Thêm một ma trận đường chéo không phải là một hiệu chỉnh thứ hạng, vì vậy tôi không chắc bài viết này sẽ giúp ích như thế nào trong trường hợp này.

— Christian Clason

@ChristianClason: Phải! Tôi chỉ nhận ra nó. Cảm ơn đã chỉ ra điều đó!

— skyuuka