Đối với dữ liệu có cấu trúc nhiễu hoặc có cấu trúc tốt, có các ô nào tốt hơn quy tắc trung điểm không?

Chỉ có hai phần đầu của câu hỏi dài này là cần thiết. Những người khác chỉ để minh họa.

Lý lịch

Các ô vuông nâng cao như Newton Newton Cotes tổng hợp mức độ cao hơn, Gauß cám Legendre và Romberg dường như chủ yếu dành cho các trường hợp người ta có thể lấy mẫu chính xác chức năng nhưng không tích hợp phân tích. Tuy nhiên, đối với các hàm có cấu trúc mịn hơn khoảng lấy mẫu (xem ví dụ Phụ lục A) hoặc nhiễu đo lường, chúng không thể cạnh tranh với các phương pháp đơn giản như quy tắc trung điểm hoặc hình thang (xem Phụ lục B để trình diễn).

Điều này có phần trực quan vì, ví dụ, quy tắc Simpson tổng hợp về cơ bản là loại bỏ một phần tư thông tin bằng cách gán cho nó một trọng số thấp hơn. Lý do duy nhất như vậy là tốt hơn cho các chức năng đủ nhàm chán là việc xử lý đúng các hiệu ứng viền vượt xa hiệu quả của thông tin bị loại bỏ. Từ quan điểm khác, tôi thấy rõ ràng bằng trực giác rằng đối với các chức năng có cấu trúc hoặc tiếng ồn tốt, các mẫu ở xa biên giới của miền tích hợp phải gần như tương đương và có trọng lượng gần như nhau (đối với số lượng mẫu cao ). Mặt khác, phương trình bậc hai của các hàm như vậy có thể được hưởng lợi từ việc xử lý tốt hơn các hiệu ứng viền (so với phương pháp trung điểm).

Câu hỏi

Giả sử rằng tôi muốn tích hợp số lượng dữ liệu một chiều ồn ào hoặc có cấu trúc tốt.

Số lượng điểm lấy mẫu là cố định (do đánh giá chức năng là tốn kém), nhưng tôi có thể tự do đặt chúng. Tuy nhiên, tôi (hoặc phương pháp) không thể đặt các điểm lấy mẫu một cách tương tác, nghĩa là dựa trên kết quả từ các điểm lấy mẫu khác. Tôi cũng không biết khu vực có vấn đề trước. Vì vậy, một cái gì đó như Gauß khoan Legendre (điểm lấy mẫu không tương đương) là ổn; phương trình thích nghi không phải vì nó yêu cầu các điểm lấy mẫu được đặt tương tác.

• Có phương pháp nào vượt ra ngoài phương pháp trung điểm được đề xuất cho trường hợp như vậy không?

• Hoặc: Có bằng chứng nào cho thấy phương pháp trung điểm là tốt nhất trong các điều kiện như vậy không?

• Tổng quát hơn: Có bất kỳ công việc hiện có về vấn đề này?

Phụ lục A: Ví dụ cụ thể về hàm cấu trúc mịn

Tôi muốn ước tính for: vớivà. Một chức năng điển hình trông như thế này:$\int_0^1f(t)\, \mathrm{d}t$

$$f(t) = \sum_{i=1}^{k} \frac{\sin(ω_i t-φ_i)}{ω_i},$$ $φ_i∈ [0,2π]$$\log{ω_i} ∈ [1,1000]$

Tôi đã chọn chức năng này cho các thuộc tính sau:

• Nó có thể được tích hợp phân tích cho một kết quả kiểm soát.
• Nó có cấu trúc tốt ở một mức độ khiến cho không thể nắm bắt được tất cả với số lượng mẫu tôi đang sử dụng ( ).$<10^2$
• Nó không bị chi phối bởi cấu trúc tốt của nó.

Phụ lục B: Điểm chuẩn

Để hoàn thiện, đây là một điểm chuẩn trong Python:

import numpy as np
from numpy.random import uniform
from scipy.integrate import simps, trapz, romb, fixed_quad

begin = 0
end   = 1

def generate_f(k,low_freq,high_freq):
    ω = 2**uniform(np.log2(low_freq),np.log2(high_freq),k)
    φ = uniform(0,2*np.pi,k)
    g = lambda t,ω,φ: np.sin(ω*t-φ)/ω
    G = lambda t,ω,φ: np.cos(ω*t-φ)/ω**2
    f = lambda t: sum( g(t,ω[i],φ[i]) for i in range(k) )
    control = sum( G(begin,ω[i],φ[i])-G(end,ω[i],φ[i]) for i in range(k) )
    return control,f

def midpoint(f,n):
    midpoints = np.linspace(begin,end,2*n+1)[1::2]
    assert len(midpoints)==n
    return np.mean(f(midpoints))*(n-1)

def evaluate(n,control,f):
    """
    returns the relative errors when integrating f with n evaluations
    for several numerical integration methods.
    """
    times = np.linspace(begin,end,n)
    values = f(times)
    results = [
            midpoint(f,n),
            trapz(values),
            simps(values),
            romb (values),
            fixed_quad(f,begin,end,n=n)[0]*(n-1),
        ]

    return [
            abs((result/(n-1)-control)/control)
            for result in results
        ]

method_names = ["midpoint","trapezoid","Simpson","Romberg","Gauß–Legendre"]

def med(data):
    medians = np.median(np.vstack(data),axis=0)
    for median,name in zip(medians,method_names):
        print(f"{median:.3e}   {name}")

print("superimposed sines")
med(evaluate(33,*generate_f(10,1,1000)) for _ in range(100000))

print("superimposed low-frequency sines (control)")
med(evaluate(33,*generate_f(10,0.5,1.5)) for _ in range(100000))

(Ở đây tôi sử dụng trung vị để giảm ảnh hưởng của các ngoại lệ do các hàm chỉ có nội dung tần số cao. Đối với trung bình, kết quả là tương tự.)

Các trung vị của các lỗi tích hợp tương đối là:

superimposed sines
6.301e-04   midpoint
8.984e-04   trapezoid
1.158e-03   Simpson
1.537e-03   Romberg
1.862e-03   Gauß–Legendre

superimposed low-frequency sines (control)
2.790e-05   midpoint
5.933e-05   trapezoid
5.107e-09   Simpson
3.573e-16   Romberg
3.659e-16   Gauß–Legendre

Lưu ý: Sau hai tháng và một tiền thưởng mà không có kết quả, tôi đã đăng bài này lên MathOverflow .

Trước hết, tôi nghĩ bạn hiểu sai về khái niệm cầu phương thích nghi. Phương trình bậc hai thích ứng không ngụ ý "tương tác đặt điểm mẫu". Toàn bộ ý tưởng đằng sau phương trình bậc hai thích ứng là đưa ra một sơ đồ sẽ tích hợp một chức năng nhất định với một lỗi tuyệt đối hoặc tương đối (ước tính) với càng ít đánh giá chức năng càng tốt.

Một nhận xét thứ hai: bạn viết "Số lượng điểm lấy mẫu là cố định (do đánh giá chức năng là tốn kém), nhưng tôi có thể tự do đặt chúng". Tôi nghĩ ý tưởng nên là số lượng điểm lấy mẫu (hoặc các đánh giá chức năng trong thuật ngữ bậc hai) phải càng nhỏ càng tốt (tức là không cố định).

Vì vậy, ý tưởng đằng sau phương pháp thích ứng được thực hiện trong QUADPACK là gì?

1. $2^{n}$$2^{n+1}$$N$$N$$2N-1$

2. Thành phần tiếp theo là chiến lược "phân chia và chinh phục". Giả sử bạn thả G7K15 này vào tích phân của bạn và bạn quan sát thấy một lỗi bậc hai theo sở thích của bạn quá lớn. QUADPACK sau đó sẽ chia nhỏ khoảng thời gian ban đầu thành hai khoảng thời gian cách đều nhau. Và sau đó nó sẽ đánh giá lại hai phần phụ bằng cách sử dụng quy tắc cơ bản, G7K15. Bây giờ, thuật toán có ước tính lỗi toàn cầu (hy vọng sẽ thấp hơn ước tính đầu tiên) nhưng cũng có hai ước tính lỗi cục bộ. Nó chọn khoảng thời gian có lỗi lớn nhất và chia số này thành hai. Hai tích hợp mới được ước tính và lỗi toàn cầu được cập nhật. Và cứ như vậy cho đến khi lỗi toàn cầu nằm dưới mục tiêu bạn yêu cầu hoặc số lượng phân mục tối đa đã bị vượt qua.

Vì vậy, tôi thách thức bạn cập nhật mã của bạn ở trên bằng scipy.quadphương pháp. Có thể trong trường hợp tích phân có nhiều "cấu trúc tốt", bạn có thể cần tăng số lượng phân khu tối đa ( limittùy chọn). Bạn cũng có thể chơi với epsabsvà / hoặc epsrelcác tham số.

Tuy nhiên, nếu bạn chỉ có dữ liệu thử nghiệm, tôi thấy hai khả năng.

1. $t$$2$
2. Nếu bạn không có phương tiện để chọn các nút, tức là các phép đo đến vào thời điểm ngẫu nhiên, theo tôi, lựa chọn tốt nhất vẫn là quy tắc hình thang.

Tôi không tin rằng mã của bạn thể hiện bất cứ điều gì cơ bản về các quy tắc bậc hai khác nhau và mức độ hiệu quả của chúng đối với tiếng ồn và cấu trúc tốt, và tin rằng có thể nếu bạn chọn các cấu trúc phạt khác nhau, bạn sẽ tìm thấy thứ gì đó khác biệt. Đây là định lý:

$\mu$

$$\left| \int_{a}^{b} f \, \mathrm{d}x - \hat{Q}[\hat{f}] \right| \le \left| \int_{a}^{b} f \, \mathrm{d}x - Q[f] \right| + \mu\left[ 4\int_{a}^{b} |f| \, \mathrm{d}x + \int_{a}^{b} |xf'| \, \mathrm{d}x \right]$$ $\hat{Q}$$\hat{f}$$f$

$\{x_i\}_{i=0}^{n-1}$$\{w_i\}_{i=0}^{n-1}$$\hat{w}_{i}$$\hat{x}_i$$\hat{f}$$\hat{f}(x) = f(x)(1+2\delta)$$|\delta| \le \mu$$\mu$

$$\begin{align*} \hat{Q}[\hat{f}] &= \sum_{i=0}^{n-1} \hat{w}_i \otimes \hat{f}(\hat{x}_i) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} w_i (1+\delta^w_i)f(x_i + \delta_i^x x_i)(1+2\delta_i^{f})(1+\delta_i^{*}) \\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} w_i \left[f(x_i)+ \delta_i^x x_i f'(x_i) \right] (1+\delta^w_i + 2\delta_i^{f} + \delta_i^*) \\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} w_i f(x_i) + \sum_{i=0}^{n-1}\delta_i^x w_i x_i f'(x_i) + w_i f(x_i) (\delta^w_i + 2\delta_i^{f} + \delta_i^*) \\ \end{align*}$$ $$\begin{align*} |\hat{Q}[\hat{f}] - Q[f]| &\le \mu \sum_{i=0}^{n-1}w_i(|x_i f'(x_i)| + 4|f(x_i)|) \\ &\approx 4\mu \int |f| \, \mathrm{d}x + \mu \int |xf'| \, \mathrm{d}x \end{align*}$$ $n$

Mutatis mutandis bạn cũng có thể chỉ ra rằng kết quả giữ trong số học điểm cố định.