Phân biệt PDE với phương pháp rothe và phương pháp đường (Thực hiện mô-đun)

Phương trình nhiệt được rời rạc trong không gian với FV (hoặc FEM) và thu được phương trình bán rời (hệ thống ODE). Cách tiếp cận này, được gọi là phương pháp của các dòng , cho phép dễ dàng chuyển đổi từ sự rời rạc tạm thời này sang cách khác, mà không cần sao chép mã. Đặc biệt, bạn có thể sử dụng lại bất kỳ nhà tích hợp thời gian nào cho ODE mà không cần nỗ lực nhiều. Điều này rất thuận tiện vì nếu bạn quyết định thay đổi sự rời rạc không gian của mình từ FV để nói FE, bạn vẫn nhận được một phương trình bán rời và các bộ tích hợp thời gian của bạn vẫn hoạt động.

Bây giờ tôi đang cố gắng thực hiện phương pháp rothe cho cùng một vấn đề. Tuy nhiên, việc rời rạc kịp thời trước tiên buộc tôi phải viết lại sự rời rạc về không gian cho mọi sơ đồ phân biệt thời gian mà tôi có thể muốn sử dụng. Điều này giúp loại bỏ việc tái sử dụng các nhà tích hợp thời gian mà tôi đã có trước đây và khiến việc viết phần mềm mô-đun có thể làm mất đi PDE bằng cách sử dụng cả phương pháp đường hoặc phương pháp của Rothe.

Có cách nào để thực hiện cả hai cách tiếp cận, mà không cần sao chép mã không?

Biên tập:

Trong các vấn đề đối lưu chi phối, sự phân biệt FE cần ổn định cả về thời gian và không gian, làm cho phương pháp của Rothe trở thành lựa chọn "tốt nhất". Tuy nhiên, đây không phải là trường hợp của phương pháp FV / DG.

Trong phương pháp đường, PDE được phân tách trước tiên trong không gian và sau đó là thời gian. Trong phương pháp của Rothe, PDE bị rời rạc trước tiên và sau đó trong không gian. Khả năng thứ ba là phân biệt đồng thời cả về không gian và thời gian (còn được gọi là sự phân biệt không gian - thời gian). Một cuộc thảo luận về phương pháp đường và phương pháp của Rothe có thể được tìm thấy ở đây . Để biết thêm thông tin, cuốn sách "Phương pháp phần tử hữu hạn cho các vấn đề dòng chảy" từ Donea và Huerta là một tài nguyên tốt.

Tôi thực sự không có nhiều điều để nói hơn những gì tôi đã làm trên các trang bạn liên kết đến, nhưng đối với tôi, các đối số chính là như sau:

• Trong nhiều vấn đề, người ta cần điều chỉnh lưới giữa các bước thời gian. Khung khái niệm để thực hiện điều này là phương pháp Rothe trong đó người ta có thể chọn phân tách không gian một cách độc lập ở mỗi bước trong khi phương pháp của một tiên nghiệm giả định rằng PDE được chuyển đổi thành một hệ thống ODE - không tương thích với điều chỉnh lưới.

• Mặt khác, nếu bạn không muốn điều chỉnh lưới của mình, thì điều đó không thành vấn đề: trong hầu hết các trường hợp, nếu sự rời rạc về không gian sẽ giống nhau giữa các bước thời gian, thì bạn có muốn hay không trước tiên phải phân biệt trong không gian và sau đó sử dụng bộ tích hợp thời gian yêu thích của bạn hoặc theo cách khác - bạn sẽ đưa ra cùng một vấn đề riêng biệt để giải quyết trong mỗi bước. Trong những trường hợp như vậy, phương pháp Rothe và phương thức đường thẳng là như nhau.

• Điều này mở rộng cho trường hợp bạn chỉ muốn điều chỉnh lưới mỗi lần: bạn có thể coi đây là phương pháp của các dòng được áp dụng cho một số bước thời gian, sau đó điều chỉnh lưới, sau đó thêm một bước các bước thời gian mà bạn áp dụng phương pháp đường. Hoặc bạn có thể nghĩ về điều này như là phương pháp Rothe nơi bạn chỉ tình cờ chỉ điều chỉnh lưới mỗi lần. Về cơ bản, nó sẽ đi ra cùng một sơ đồ số, chỉ là một quan điểm triết học khác.

Có thể đáng để thêm một điểm nữa: Trong thế giới ODE, người ta thường sử dụng các sơ đồ bậc cao với nhiều giai đoạn hoặc nhiều bước. Do đó, có một lợi ích đáng kể khi đóng gói các thuật toán này vào các gói mà bạn chỉ phải trao một hệ thống ODE bằng cách này hay cách khác. Mặt khác, đối với các PDE phụ thuộc thời gian, phần lớn thời gian người ta sử dụng các phương pháp bước thời gian khá đơn giản (ngoại trừ đáng chú ý của một số bộ giải hyperbol): ví dụ: Crank-Nicolson, BDF-2 hoặc chỉ các sơ đồ Euler tiến hoặc lùi . Đối với các nhà tích hợp thời gian đơn giản này, việc mã hóa việc tích hợp thời gian không quá khó khăn vì nó đơn giản hơn nhiều so với việc phân biệt không gian. Điều này có nghĩa là cái giá phải trả cho việc suy nghĩ theo phương pháp Rothe - không thể sử dụng gói bộ giải ODE - là một giá nhỏ, trong khi đó cái giá phải trả cho việc sử dụng phương pháp đường - không thể điều chỉnh lưới giữa các bước thời gian - là một mức lớn. Điều đó có thể giải thích tại sao hầu hết mọi người trong thế giới phần tử hữu hạn thích ứng thích suy nghĩ theo phương pháp Rothe.

Như một hệ quả tất yếu, và trở lại câu hỏi ban đầu: Thực sự rất khó trong phương pháp Rothe để đóng gói mọi thứ độc đáo theo cách hướng đối tượng. Tuy nhiên, (i) miễn là bạn gắn bó với một lớp tích hợp ODE duy nhất, tất nhiên bạn vẫn có thể lập bảng các hệ số của các giai đoạn khác nhau của tích phân trong một lớp và có mã tính toán chúng hoàn toàn được đóng gói; và (ii) thực tế là người ta thường sử dụng các bộ tích hợp thời gian tương đối đơn giản cho các PDE phụ thuộc thời gian có nghĩa là lượng mã cần thiết để thực hiện tích hợp thời gian thường nhỏ hơn rất nhiều so với lượng mã liên quan đến sự phân biệt không gian. Nói cách khác, tôi không biết làm cách nào để tách biệt không gian khỏi sự phân biệt thời gian bằng phương pháp Rothe, nhưng tôi không biết