Ví dụ về hàm liên tục khó gần đúng với đa thức

16

Đối với mục đích giảng dạy, tôi cần một hàm liên tục của một biến duy nhất "khó" gần đúng với đa thức, tức là người ta sẽ cần các công suất rất cao trong chuỗi lũy thừa để "khớp" tốt chức năng này. Tôi dự định cho học sinh của mình thấy "giới hạn" của những gì có thể đạt được với chuỗi sức mạnh.

Tôi đã nghĩ đến việc pha chế một thứ gì đó "ồn ào", nhưng thay vì tự mình lăn lộn, tôi chỉ tự hỏi liệu có một loại "hàm khó" tiêu chuẩn nào mà mọi người sử dụng để kiểm tra các thuật toán xấp xỉ / nội suy, tương tự như các hàm kiểm tra tối ưu hóa đó có rất nhiều cực tiểu địa phương nơi các thuật toán ngây thơ bị mắc kẹt dễ dàng.

Xin lỗi nếu câu hỏi này không được hình thành tốt; xin thương xót một người không phải là nhà toán học.

interpolation

— Laryx Decidua
nguồn

14

Tại sao không chỉ đơn giản là hiển thị hàm giá trị tuyệt đối?

Xấp xỉ với ví dụ mở rộng Legendre-đa thức hoạt động, nhưng khá tệ :

Tất nhiên việc mở rộng Taylor hoàn toàn vô dụng ở đây, luôn chỉ cung cấp một hàm tuyến tính, luôn luôn giảm hoặc luôn tăng (tùy thuộc vào điểm bạn mở rộng xung quanh là âm hay dương).

— bên trái
nguồn

Bạn có thể nội suy | x | bằng cách sử dụng phép nội suy Ch Quashev , hãy xem nbviewer.jupyter.org/github/cpraveen/na/blob/master/ , hội tụ khá nhanh. Ví dụ: bạn có thể thay đổi N = 2 * i trong mã thành N = 15 + i và kiểm tra mức độ lớn hơn. Nó không phải là một phương pháp mở rộng nhưng vẫn dựa trên đa thức.

— cpraveen

@PraveenChandrashekar Ch Quashev hoạt động tốt hơn vì nó đặt nhiều trọng lượng hơn vào các phần bên ngoài của khoảng thời gian, nơi chức năng trơn tru. Do đó, dao động quá mức là tránh, nhưng nói rằng nó gần đúng với chức năng thì tốt hơn - nó đặc biệt nắm bắt được bước ngoặt sắc nét ở thậm chí còn tệ hơn so với các điểm rời rạc đồng nhất hoặc -minimisation. Nếu mục tiêu của bạn là tránh các thành phần tần số cao, tốt hơn nên sử dụng một phép biến đổi tích phân làm ẩm đúng các thành phần này.

x = 0

$x=0$

L^{2}

$L^2$

— leftaroundabout

Hoàn toàn ổn khi có các điểm không đồng nhất như trong phép nội suy Ch Quashev. Với độ khoảng 20, nó mang lại xấp xỉ chính xác hơn nhiều so với Legendre mà bạn thể hiện trong bài viết của mình. Đo lường các lỗi để được định lượng nhiều hơn. Bạn cũng có thể thực hiện xấp xỉ chuỗi Ch Quashev của | x | đó là chính xác hơn mở rộng Legendre.

— cpraveen

@PraveenChandrashekar điểm là đa thức về nguyên tắc không thể xấp xỉ một hàm như

đúng cách Có nhiều phương pháp khác nhau, mỗi phương thức đều thất bại ít nhiều một cách ngoạn mục, nhưng không có phương pháp nào hoạt động tốt theo nghĩa của Chỉ một vài thuật ngữ đưa ra một cái gì đó có thể bị nhầm lẫn với chức năng ban đầu. Nếu bạn phải sử dụng đa thức, bạn cần xem xét loại lỗi nào có vấn đề hơn, cả Legendre và Ch Quashev đều có trường hợp sử dụng nhưng không có viên đạn bạc. Cuối cùng, một cách tiếp cận với ví dụ splines thường hiệu quả hơn.

x \mapsto | x |

$x \mapsto |x|$

— leftaroundabout

Chúng tôi biết không có phương pháp hoàn hảo. Câu hỏi đặt ra là các hàm nào khó cho đa thức gần đúng. Vì vậy, người ta phải xem tất cả các phương pháp có thể liên quan đến đa thức để kết luận không ai trong số họ làm tốt công việc. The Legendre không phải là cách tốt nhất để ước chừng | x | và do đó nó mang lại một ấn tượng khá sai lầm rằng đa thức quá tệ cho | x |. Với Ch Quashev, bạn có khả năng hội tụ và xấp xỉ tốt hơn nhiều so với Legendre, chúng không dao động mạnh như Legendre, mặc dù hội tụ chậm gần x = 0, trong đó chức năng không đủ mượt mà.

— cpraveen

10

$|x|$

— Wolfgang Bangerth
nguồn

Cảm ơn, đây chính xác là những gì tôi muốn nói bởi "Tôi đã nghĩ về điều gì đó 'ồn ào'". Ví dụ rất tốt IMO.

— Laryx Decidua

6

Xấp xỉ không chỉ được thực hiện khó bởi hàm gần đúng mà bởi khoảng thời gian trong đó xấp xỉ phải là "phù hợp tốt". Và bạn nên xác định biện pháp cho "mức độ phù hợp", nghĩa là lỗi tối đa (tuyệt đối hoặc tương đối) mà bạn muốn chịu đựng là gì?

$\exp(x)$ $[0,10]$ $\sin(x)$ $[0,2\pi]$

— GertVdE
nguồn

Tôi chỉ ra những ví dụ như vậy trong khóa học của mình để đưa ra quan điểm rằng việc mở rộng Taylor không phải là một phương pháp tốt cho các hàm gần đúng.

— cpraveen

6

Đa thức có hiệu quả đáng ngạc nhiên khi tính gần đúng hàm [1]. Nếu bạn có ít nhất sự liên tục của Lipschitz, thì các phép tính gần đúng của Ch Quashev sẽ hội tụ. Tất nhiên, sự hội tụ có thể chậm, và đó là cái giá chúng ta phải trả cho việc xử lý một hàm không trơn tru.

Ngày nay, máy tính nhanh hơn nhiều so với những ngày viết nhiều sách phân tích số và thuật toán thông minh đã tăng tốc độ hơn nữa, do đó việc phải sử dụng nhiều thuật ngữ có thể không tệ như trước đây.

Các ví dụ bệnh lý như hàm quái vật Weierstrass rất thú vị từ quan điểm lý thuyết, nhưng chúng không đại diện cho hầu hết các bối cảnh ứng dụng thực tế.

$|x|$ $x=0$

Điều quan trọng là dạy những khó khăn khi tính gần đúng với đa thức, nhưng điều quan trọng là phải nói với học sinh rằng chúng ta có thể xây dựng ước tính lỗi và thuật toán thích ứng có thể giải quyết các vấn đề này.

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

— cpraveen
nguồn

+1 để liên kết "bài báo huyền thoại" của Lloyd Trefethen, một khảo sát rất hay về chủ đề IMO, cảm ơn.

— Laryx Decidua

2

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$ $x=0$ $x=2$

— Christopher Wells
nguồn

0

$y = sin(x)$

— Aniruddha Acharya
nguồn

y = \sin (\frac{1}{x})

$y=\sin(\frac{1}{x})$