Giá trị tuyệt đối trong các ràng buộc tuyến tính

Tôi có vấn đề tối ưu hóa sau đây khi tôi có giá trị tuyệt đối trong các ràng buộc của mình:

Đặt và là các vectơ cột có kích thước mỗi. Chúng tôi muốn giải quyết các vấn đề sau: $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{f}_0, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_m$$n$

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} &|\mathbf{f}_1^T \mathbf{x}| \leq |\mathbf{f}_2^T \mathbf{x}| \leq \ldots \leq |\mathbf{f}_m^T \mathbf{x}| \end{align}$$

Tôi biết rằng không gian khả thi sẽ không bị lồi và tôi có thể sẽ cần một MILP để giải quyết vấn đề. Tôi đang tìm kiếm số lượng biến nhị phân ít nhất mà tôi cần và thiết lập sẽ giải quyết vấn đề.

Xử lý các giá trị tuyệt đối thường dễ dàng khi chỉ một mặt của bất đẳng thức có giá trị tuyệt đối (http://lpsolve.sourceforge.net/5.1/absolute.htmlm); trường hợp này tuy nhiên có vẻ phức tạp hơn.

Cảm ơn bạn trước.

Cách dễ nhất là thêm giá trị nhị phân và giải$m$$s_i \in {0,1}$

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} & 0 \le (2s_i-1) \mathbf{f}^T_i \mathbf{x} \le (2s_{i+1}-1) \mathbf{f}^T_{i+1} \mathbf{x} & \forall i\end{align}$$

Tôi nghĩ rằng (1) không có gì đáng kể tồn tại nhanh hơn hoặc (2) có một mẹo đặc biệt để cải tổ thành chương trình lồi. Có lẽ (1).

Bạn có thể sử dụng một bộ giải cho các vấn đề không liên quan. Xem http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonsm