Khó khăn với phương pháp quang phổ khi sử dụng đa thức Ch Quashev

Tôi đang gặp một chút khó khăn trong việc cố gắng hiểu một bài báo. Bài viết sử dụng phương pháp phổ để giải quyết một giá trị riêng xuất phát từ một hệ thống ODE được ghép nối. Bây giờ tôi sẽ chỉ viết ra một phương trình, bởi vì nó đủ để đi đến mấu chốt của câu hỏi của tôi.

Phương trình là

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Tôi thực hiện đạo hàm và nhận

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Bây giờ theo bài báo, tôi sẽ có thể mở rộng số lượng cân bằng ) của hệ thống dưới dạng Đa thức Ch Quashev có dạng $(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

$B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ , trong đó là đa thức. Tôi biết làm thế nào để có được bằng cách sử dụng mã tôi đã viết trong Mathicala. Ngoài ra và miền của là . $T_i[y]$ $b_i$ $y = 2(r/R) -1$ $r$ $(0,R)$

Bài viết cũng nói rằng các hàm ( ) có thể được mở rộng dưới dạng và nói chung, một thuật ngữ như có thể được biểu thị là $V,W$ $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ $B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

trong đó và cho và bằng 1 cho . $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ $\Theta(k) = 0$ $k<0$ $k\geq 0$

Với tất cả những gì đã nói, giả sử tôi thực hiện các hàm cân bằng sau

$\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ và , sau đó Eq1 trở thành $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Eq2) . $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Câu hỏi 1: Tôi phải làm gì với các điều khoản ? Các đa thức là các hàm của vậy làm sao tôi có thể có một bản mở rộng như Hàm X của [y]? Ngoài ra, có vẻ như tôi chỉ có thể chia chúng ra cho mỗi bên của phương trình, vậy điểm giới thiệu của thuật ngữ đó là gì? Ý tôi là, theo bài báo, thuật ngữ này được cho là áp đặt điều kiện biên mà về 0 khi chuyển sang 0. $(\frac{r}{R})^l$ $[y]$ $B[r]= (\frac{r}{R})^l$ $V,W$ $r$

* Câu hỏi 2: * Làm thế nào tôi có nghĩa vụ phải đối phó với trong thuật ngữ . Bài viết đưa ra một mô tả về cách xử lý các thuật ngữ phái sinh, nhưng bản thân thì sao. Tôi có nên coi nó như một giá trị cân bằng và sử dụng quy tắc cho các thuật ngữ như hay tôi nên diễn đạt này theo . Hay tôi nên làm một cái gì đó khác hoàn toàn? $r$ $r*W'$ $r$ $B[r]F[r]$ $r$ $y$

eigenvalues polynomials spectral-method

— tau1777
nguồn

Có lẽ bạn có thể liên kết đến bài báo mà bạn đang tham khảo?

— Aron Ahmadia

Xin chào Aron, Đây là liên kết arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf Những điều số tôi gặp rắc rối được mô tả trong Phụ lục A và phương trình tôi đang kiểm tra ở trên là phương trình (19). Cảm ơn.

— tau1777

Lưu ý rằng chính là hàm (tuyến tính) của (và do đó là ).

y

$y$

\frac{r}{R}

$\frac{r}{R}$

r

$r$

— Christian Clason

Tôi không chắc có thể trả lời câu hỏi mà không cần đọc bài viết chi tiết. Nhưng liên quan đến câu hỏi đầu tiên, bạn có . Và yếu tố này không thể được chia ra vì nó không nhân tất cả các điều khoản. $r/R = (y+1)/2$

Đối với câu hỏi 2: vì phương trình này được sử dụng để áp dụng điều kiện biên tại , tôi nghĩ thuật ngữ bạn đề cập sẽ biến mất. $r=0$

— David Ketcheson
nguồn